Олимпиадная задача по планиметрии: семиугольник с углами по 120° для 8-9 классов

Пусть в данном семиугольнике есть два соседних угла по120^o , например, углы при вершинах A и B (рис.1). Тогда

GAB = ABC = 360^o-240^o=120^o,

поэтому BOG = AOC = 120^o , где O – центр окружности. Значит, AOG = BOC . Следовательно, AG = BC .

Если же углы по120^o расположены не рядом, то без ограничения общности можно считать, что это углы при вершинах A , C и E (рис.2). Тогда

BOG = BOD = DOF = 120^o, FOG = 360^o - ( BOG + BOD + DOF)= 360^o-3· 120^o = 0^o,

что невозможно.