Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: биссектрисы, окружности и параллельность
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром I вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.
Разобрать решение
Tреугольник CAC0 подобен треугольнику AC1C0 по двум углам (∠BAC0 = ∠BCC0 = ∠ACC0), поэтому CC0 : AC0 = AC0 : C1C0, а так как AC0 = IC0 (см. задачу 153119), то CC0 : IC0 = IC0 : C1C0, значит, при гомотетии с центром C0 и коэффициентом CC0/IC0 точка C переходит в точку I, точка I – в точку C1, прямая AC – в некоторую прямую l, проходящую через точку I параллельно AC, а прямая m, проходящая через точку I параллельно A1C1, – в прямую C1A1. Поэтому точка Q пересечения прямых m и AC переходит в точку P' пересечения прямых A1C1 и l. Следовательно, точка C0 лежит на прямой QP'. Аналогично точка A0 лежит на прямой QP'. Tаким образом, точка P пересечения прямых A1C1 и A0C0 совпадает с точкой P', а значит, лежит на прямой l, проходящей через точку I параллельно AC.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.