Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: биссектрисы и параллельность
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH к гипотенузе AB. Биссектрисы углов CAB и BCH пересекаются в точке M, а биссектрисы углов CBA и ACH – в точке N. Докажите, что MN || AB.
Разобрать решение
Пусть CP и CQ – биссектрисы треугольников BCH и ACH соответственно. Обозначим ∠CAM = α. Тогда ∠BCH = ∠BAC = 2α, ∠MCH = α,
∠ACH = 90° – 2α, ∠ACM = 90° – α, ∠AMC = 180° – ∠CAM – ACM = 90°, поэтому AM – высота и биссектриса треугольника CAP. Значит, этот треугольник – равнобедренный, а AM – его медиана, то есть M – середина отрезка CP. Аналогично N – середина отрезка CQ. Таким образом, MN – средняя линия треугольника PCQ, поэтому MN || PQ = AB.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.