Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: точки и вписанный четырёхугольник
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что AP = CQ и четырёхугольник RPBQ – вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что RX = RY.
Разобрать решение
Заметим, что ∠ARP < ∠ARP + ∠CRQ = 180° – ∠PRQ = ∠PBQ = ∠ABC.
Предположим, что точка X лежит на продолжении отрезка PR за точку R. Тогда ∠ARP = 180° – ∠ARX > ∠RAX = ∠B, что невозможно. Следовательно, точка X лежит на луче RP.
Из теоремы об угле между касательной и хордой ∠XAP = ∠C. Кроме того, ∠APX = ∠BPR = ∠CQR, значит, треугольники APX и CQR равны по стороне и двум углам, поэтому PX = QR. Аналогично PR = QY. Следовательно, RX = PR + PX = QY + QR = RY.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.