Олимпиадная задача по планиметрии: биссектрисы и описанные окружности в треугольнике

  Продолжим биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC до пересечения с его описанной окружностью в точках B₀ и C₀ соответственно.

  Как известно (см. задачу 153119),  AB₀ = IB₀ = IC₀.  Значит, треугольники B₀AC₀ и B₀IC₀ равны по трём сторонам.

  Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R. Через вершину A проведём прямую, параллельную B₀C₀, и продолжим BB₀ и CC₀ до пересечения с этой прямой в точках B₂ и C₂ соответственно. Прямая B₀C₀ – серединный перпендикуляр к отрезку AI, поэтому B₀C₀ – средняя линия треугольника B₂IC₂. Следовательно, радиус R₁ описанной окружности треугольника B₂IC₂ вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника B₀IC₀, а так как треугольник B₀IC₀ равен треугольнику B₀AC₀, то R₁ вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника B₀AC₀, то есть R₁ = 2R.

  Заметим, что  ∠AB₂I = ∠C₀B₀B = ∠C₀CB = ∠ACI,  то есть из точек B₂ и C, лежащих по одну сторону от прямой AI, отрезок AI виден под одним и тем же углом. Значит, точки B₂, C, I, A лежат на одной окружности. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд  AB₁·CB₁ = IB₁·B₂B₁.  С другой стороны,  AB₁·CB₁ = MB₁·NB₁,  так как точки M, N, A и C лежат на одной окружности (описанной окружности треугольника ABC). Значит,

MB₁·NB₁ = IB₁·B₂B₁.  Следовательно, точка B₂ лежит на описанной окружности треугольника IMN . Аналогично точка C₂ также лежит на этой окружности. Таким образом, описанная окружность треугольника IMN совпадает с описанной окружностью треугольника B₂IC₂, а радиус этой окружности равен 2R.