Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 7-11 класса - сложность 3 с решениями

Вершины треугольника лежат внутри прямоугольника или на его сторонах. Докажите, что площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника.

Середина каждой стороны параллелограмма соединена с концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника, образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.

Каждая сторона треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 0,01?

Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника, на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.

Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром<i> O </i>окружность<i> S </i>переходит в окружность<i> S' </i>, то<i> O </i>— один из центров гомотетии окружностей<i> S </i>и<i> S' </i>.

С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины острых углов которого лежали бы на двух данных окружностях, а вершина прямого угла была расположена в данной точке.

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых.

С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая — на данной прямой, а третья — в данной точке.

С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>точки<i> M </i>и<i> N </i>так, чтобы угол при вершине<i> A </i>равнобедренного треугольника<i> MAN </i>был равен<i> α </i>.

С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.

Даны точки<i> A </i>и<i> B </i>и окружность<i> S </i>. С помощью циркуля и линейки постройте на окружности<i> S </i>такие точки<i> C </i>и<i> D </i>, что<i> AC || BD </i>и дуга<i> CD </i>имеет данную величину<i> α </i>.

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.

Дан треугольник<i> ABC </i>. На его сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>построены внешним образом квадраты<i> ABMN </i>и<i> BCPQ </i>. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков<i> MQ </i>и<i> AC </i>образуют квадрат.

На сторонах треугольника<i> ABC </i>построены вне треугольника равносторонние треугольники<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1,<i> ABC</i>1, и проведены отрезки<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1. Докажите, что а) эти отрезки равны между собой; б) эти отрезки пересекаются в одной точке; в) если эта точка находится внутри треугольника<i> ABC </i>, то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1.

Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом<i> α </i>.

На сторонах треугольника<i> ABC </i>внешним образом построены правильные треугольники<i> ABC</i>1,<i> AB</i>1<i>C </i>и<i> A</i>1<i>BC </i>. Пусть<i> P </i>и<i> Q </i>— середины отрезков<i> A</i>1<i>B</i>1и<i> A</i>1<i>C</i>1. Докажите, что треугольник<i> APQ </i>правильный.

Высоты<i> AA</i>1и<i> BB</i>1треугольника<i> ABC </i>пересекается в точке<i> H </i>. Прямые<i> AC </i>и<i> A</i>1<i>B</i>1пересекаются в точке<i> D </i>. Докажите, что прямая<i> DH </i>перпендикулярна медиане<i> BM </i>треугольника<i> ABC </i>.

Пусть<i> r </i>— радиус вписанной окружности, а<i> r_a </i>,<i> r_b </i>и<i> r_c </i>— радиусы вневписанных окружностей треугольника<i> ABC </i>, касающихся сторон<i> BC=a </i>,<i> AC=b </i>,<i> AB=c </i>соответственно;<i> p </i>— полупериметр треугольника<i> ABC </i>,<i> S </i>— его площадь. Докажите, что                      а)<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116101/problem_116101_img_2.gif"> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116101/problem_116101_img_3.gif"> + <img align="absmiddle"...

Окружность радиуса 3 проходит через вершину<i> B </i>, середины сторон<i> AB </i>и<i> BC </i>, а также касается стороны<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>. Угол<i> BAC </i>— острый, и<i> sin <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116100/problem_116100_img_2.gif"> BAC = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116100/problem_116100_img_3.gif"> </i>. Найдите площадь треугольника<i> ABC </i>.

На окружности, описанной около прямоугольника<i> ABCD </i>, выбрана точка<i> K </i>. Оказалось, что прямая<i> CK </i>пересекает отрезок<i> AD </i>в точке<i> M </i>такой, что<i> AM:MD=</i>2. Пусть<i> O </i>— центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника<i> OKD </i>лежит на окружности, описанной около треугольника<i> COD </i>.

Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки <i>B</i> и <i>C</i>, пересекают касательную к ω, проведённую через точку <i>A</i>, в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Прямая, проведённая через <i>K</i> параллельно <i>AB</i>, пересекается с прямой, проведённой через <i>L</i> параллельно <i>AC</i>, в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>BP = CP</i>.

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.