Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Докажите что из двух неравных хорд окружности большая удалена от центра на меньшее расстояние. Верно ли обратное?
Через каждую точку<i> A </i>, лежащую на данной окружности, проводится касательная и на ней откладывается отрезок<i> AM </i>, равный данному. Найдите геометрическое место точек<i> M </i>.
Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.
Докажите, что выпуклый <i>n</i>-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>n</i></sub> вокруг некоторой точки.
С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины острых углов которого лежали бы на двух данных окружностях, а вершина прямого угла была расположена в данной точке.
С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых.
С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>CD</i> и <i>DE</i> правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i>. Найдите угол между прямыми <i>AM</i> и <i>BN</i>.
Шестиугольник <i>ABCDEF</i> – правильный, <i>K</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>BD</i> и <i>EF</i>. Докажите, что треугольник <i>AMK</i> – правильный.
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая — на данной прямой, а третья — в данной точке.
С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>точки<i> M </i>и<i> N </i>так, чтобы угол при вершине<i> A </i>равнобедренного треугольника<i> MAN </i>был равен<i> α </i>.
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360<i><sup>o </sup> </i>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360<i><sup>o</sup> </i>.
С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.
Даны точки<i> A </i>и<i> B </i>и окружность<i> S </i>. С помощью циркуля и линейки постройте на окружности<i> S </i>такие точки<i> C </i>и<i> D </i>, что<i> AC || BD </i>и дуга<i> CD </i>имеет данную величину<i> α </i>.
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>CD</i> и <i>DE</i> правильного шестиугольника <i>ABCDEF, P</i> – точка пересечения отрезков <i>AM</i> и <i>BN</i>. Докажите, что <i>S<sub>ABP</sub> = S<sub>MDNP</sub></i>.
Дан треугольник<i> ABC </i>. На его сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>построены внешним образом квадраты<i> ABMN </i>и<i> BCPQ </i>. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков<i> MQ </i>и<i> AC </i>образуют квадрат.
На сторонах треугольника<i> ABC </i>построены вне треугольника равносторонние треугольники<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1,<i> ABC</i>1, и проведены отрезки<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1. Докажите, что а) эти отрезки равны между собой; б) эти отрезки пересекаются в одной точке; в) если эта точка находится внутри треугольника<i> ABC </i>, то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1.
Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом<i> α </i>.
На сторонах треугольника<i> ABC </i>внешним образом построены правильные треугольники<i> ABC</i>1,<i> AB</i>1<i>C </i>и<i> A</i>1<i>BC </i>. Пусть<i> P </i>и<i> Q </i>— середины отрезков<i> A</i>1<i>B</i>1и<i> A</i>1<i>C</i>1. Докажите, что треугольник<i> APQ </i>правильный.
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка<i> C </i>, на другой — точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём треугольник<i> ABC </i>— равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.
Расстояние между параллельными прямыми равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116104/problem_116104_img_2.gif"> </i>. На одной из них лежит точка<i> C </i>, на другой — точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём треугольник<i> ABC </i>— равнобедренный. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>, равен<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116104/problem_116104_img_3.gif"> </i>. Найдите<i> AB </i>.
Высоты<i> AA</i>1и<i> BB</i>1треугольника<i> ABC </i>пересекается в точке<i> H </i>. Прямые<i> AC </i>и<i> A</i>1<i>B</i>1пересекаются в точке<i> D </i>. Докажите, что прямая<i> DH </i>перпендикулярна медиане<i> BM </i>треугольника<i> ABC </i>.