Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём  <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2,  <i>AM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5.  Прямые <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OM</i> : <i>OB</i>  и  <i>ON </i>: <i>OC</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 5,  <i>BN</i> : <i>NC</i> = 1 : 4.  Прямые <i>CM</i> и <i>AN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OA</i> : <i>ON</i>  и  <i>OM</i> : <i>OC</i>.

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM</i> : <i>MD</i> = 2 : 7,  <i>CN</i> : <i>ND</i> = 3 : 5.  Прямые <i>CM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>ON</i> : <i>OB</i>  и  <i>OC</i> : <i>OM</i>.

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.

Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB < BC</i>)  проведены высоты <i>AM</i> и <i>CN</i>. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Известно, что ∠<i>ABC</i> = β,  а площадь четырёхугольника <i>NOMB</i> равна <i>S</i>. Найдите сторону <i>AC</i>.

Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность. Диаметр <i>AD</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>E</i>, при этом  <i>AC = EC</i>  и  <i>AE</i> : <i>DE = m</i>.

Найдите отношение  <i>BE</i> : <i>CE</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём  <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2,  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 2 : 5.  Прямые <i>AM</i> и <i>DN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OM</i> : <i>OA</i>  и <i>ON</i> : <i>OD</i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на диагоналях <i>BD</i> и <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MD = CN</i> : <i>NA</i> = 1 : 8.

Найдите <i>MN</i>, если известно, что основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции равны <i>a</i> и <i>b</i> соответственно.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> расположены соответственно на диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём  <i>CP</i> : <i>AP = BQ</i> : <i>DQ</i> = 5 : 2.

Найдите <i>PQ</i>, если известно, что основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции равны <i>a</i> и <i>b</i> соответственно.

На диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> трапеции <i>ABCD</i> с основаниями  <i>BC = a</i>  и  <i>AD = b</i>  расположены точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём

<i>CK</i> : <i>KA = BL</i> : <i>LD</i> = 7 : 4.  Найдите <i>KL</i>.

На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>BM</i> : <i>AM = CN</i> : <i>ND</i> = 3 : 5.

Найдите <i>MN</i>, если  <i>BC = a</i>  и  <i>AD = b</i>.

В ромб <i>ABCD</i> вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке <i>P</i>, пересекает стороны <i>AB, BC</i> и продолжение стороны <i>AD</i> соответственно в точках <i>N, Q</i> и <i>M</i>, причём  <i>MN</i> : <i>NP</i> : <i>PQ</i> = 7 : 1 : 2.  Найдите углы ромба.

В пространстве даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2<i>;</i>0),<i> B</i>(5<i>;</i>2<i>;-</i>1),<i> C</i>(2<i>;-</i>1<i>;</i>4)и<i> D</i>(<i>-</i>2<i>;</i>2<i>;-</i>1). Найдите: а) расстояние от вершины<i> D </i>тетраэдра<i> ABCD </i>до точки пересечения медиан основания<i> ABC </i>; б) уравнение плоскости<i> ABC </i>; в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины<i> D </i>; г) угол между прямыми<i> BD </i>и<i> AC </i>; д) угол между гранями<i> ABC </i>и<i> ACD </i>; е) расстояние между прямыми<i> BD </i>и&lt...

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно 1.

В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.

Сторона основания<i> ABC </i>пирамиды<i> TABC </i>равна 4, боковое ребро<i> TA </i>перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер<i> AC </i>и<i> BT </i>параллельно медиане<i> BD </i>грани<i> BCT </i>, если известно, что расстояние от вершины<i> T </i>до этой плоскости равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116322/problem_116322_img_2.gif"> </i>.

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BDD'B' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером4<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODD' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> DD'A </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BB'D'D </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером3<i>× </i>4<i>× </i>8так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBB' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> BB'C </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> ACC'A' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>3<i>× </i>6так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCC' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> CC'D </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> AA'C'C </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAA' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> AA'B </i>и не им...

В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).

В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> B = </i>50<i>^o </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> C = </i>70<i>^o </i>. Найдите углы треугольника<i> OHC </i>, где<i> H </i>— точка пересечения высот,<i> O </i>— центр окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.