Задача № 216289
Докажите что из двух неравных хорд окружности большая удалена от центра на меньшее расстояние. Верно ли обратное?
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216288
Через каждую точку A , лежащую на данной окружности, проводится касательная и на ней откладывается отрезок AM , равный данному. Найдите геометрическое место точек M .
Задача № 216287
Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача № 216237
Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол 360°/n вокруг некоторой точки.
Задача № 216123
С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины острых углов которого лежали бы на двух данных окружностях, а вершина прямого угла была расположена в данной точке.
Задача № 216122
С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых.
Задача № 216121
С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.
Задача № 216120
Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF. Найдите угол между прямыми AM и BN.
Задача № 216119
Шестиугольник ABCDEF – правильный, K и M – середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK – правильный.
Задача № 216118
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая — на данной прямой, а третья — в данной точке.
Задача № 216117
С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD точки M и N так, чтобы угол при вершине A равнобедренного треугольника MAN был равен α .
Задача № 216116
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360o , является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360o .
Задача № 216115
С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
Задача № 216114
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.
Задача № 216113
Даны точки A и B и окружность S . С помощью циркуля и линейки постройте на окружности S такие точки C и D , что AC || BD и дуга CD имеет данную величину α .
Задача № 216112
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.
Задача № 216111
Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P – точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что SABP = SMDNP.
Задача № 216110
Дан треугольник ABC . На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.
Задача № 216109
На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника равносторонние треугольники BCA1, CAB1, ABC1, и проведены отрезки AA1, BB1и CC1. Докажите, что а) эти отрезки равны между собой; б) эти отрезки пересекаются в одной точке; в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков AA1, BB1, CC1.
Задача № 216108
Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом α .
Задача № 216107
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC . Пусть P и Q — середины отрезков A1B1и A1C1. Докажите, что треугольник APQ правильный.
Задача № 216106
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Задача № 216105
Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
Задача № 216104
Расстояние между параллельными прямыми равно . На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , равен . Найдите AB .
Задача № 216103
Высоты AA1и BB1треугольника ABC пересекается в точке H . Прямые AC и A1B1пересекаются в точке D . Докажите, что прямая DH перпендикулярна медиане BM треугольника ABC .
101–125 из 7538