Задача № 165092
Докажите, что для любого натурального числа n > 1 найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что a + b = c + d = ab – cd = 4n.
Берлов С. Л.
118 задачЗадача № 165091
В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.
Задача № 165088
Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем н...
Задача № 165081
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны, CD = 4BC, а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD. Чему может быть равно отношение AD : AB?
Задача № 165077
В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.
Задача № 165065
В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения AB = BD, ∠ABD = ∠DBC. На диагонали BD нашлась такая точка K, что BK = BC. Докажите, что ∠KAD = ∠KCD.
Задача № 165062
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC, равно AD + DC.
Задача № 165015
На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно. Докажите, что SABCD ≥ 3SBCM.
Задача № 165014
В выпуклом четырёхугольнике ABCD AB = BC. На диагонали BD выбрана такая точка K, что ∠AKB + ∠BKC = ∠A + ∠C. Докажите, что AK·CD = KC·AD.
Задача № 164781
Натуральное число n назовём хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа n + 1. Найдите все хорошие натуральные числа.
Задача № 164767
В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?
Задача № 164763
В выпуклом n-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.
Задача № 164762
Серёжа выбрал два различных натуральных числа a и b. Он записал в тетрадь четыре числа: a, a + 2, b и b + 2. Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?
Задача № 164761
По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.
Задача № 164701
В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что AB = CD.
Задача № 164633
Петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку – не больше одной. Докажите, что у Васи есть способ поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.
Задача № 164632
По кругу стоят 101000 натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное. Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 101000 последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?
Задача № 164621
Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает k клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером a, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем a; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем a. При каком наименьшем k независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетк...
Задача № 164351
Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток. Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.
Задача № 164346
На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., a100. Затем под каждым числом ai написали число bi, полученное прибавлением к ai наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b1, b2, ..., b100?
Задача № 137004
В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.
Задача № 135632
В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,002 г. Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.