Задание олимпиады: Сумма с монетами в республике математиков

  Покажем, что математики могли выбрать число      – корень уравнения  α² + α = 7.  Ясно, что  α > 2.  Нетрудно видеть, что при натуральных m     где a_m и b_m – целые числа, причём  a_m < 0 < b_m  при нечётных m и  a_m > 0 > b_m  при чётных m. Значит, число αm иррационально.

  Осталось показать, что для любого натурального числа n сумму в n рублей можно набрать требуемым способом. Рассмотрим все способы набрать n рублей выпущенными монетами (хотя бы один такой способ существует: можно взять n рублёвых монет). Выберем из них способ, в котором наименьшее число монет. Предположим, что какая-то монета достоинства α^k  (k ≥ 0)  встречается в этом способе хотя бы 7 раз. Тогда можно заменить 7 монет по α^k монетами достоинств α^k+1 и α^k+2. При этом суммарное достоинство монет не изменится  (α^k+1 + α^k+2 = 7α^k),  а их количество уменьшится. Это противоречит выбору нашего способа.