Олимпиадная задача по планиметрии о треугольнике ABC и точках O, M

  Пусть K и L – середины сторон АВ и АС, AH – высота, A', B' и C' – точки касания окружности со сторонами высота треугольника АВС, r – радиус этой окружности (см. рис.).

  Так как  OM || BC,  то  r = OA'=¹/₃AH.  Из того, что  S_ABC= ½BC·AH= (AB + BC + AC)r  следует, что  ½ (AB + AC) =BC.  Кроме того,  BA' = BC'  и CA' = CB',  поэтому  BC' + CB' = BC = BK + CL.  Следовательно,  C'K = |BC – BK| = |CL – CB'| = B'L.   Таким образом, прямоугольные треугольникиOKC'иOLB'равны по двум катетам, откуда  OK = OL.