Задача № 216300
Вершины треугольника лежат внутри прямоугольника или на его сторонах. Докажите, что площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 3-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216299
Середина каждой стороны параллелограмма соединена с концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника, образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.
Задача № 216297
Каждая сторона треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 0,01?
Задача № 216296
Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника, на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.
Задача № 216294
Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от AC . В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность δ1, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ1, вписана окружность δ2и т.д. (окружность δn вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δn-1, n=2,3, .. ). Пусть rn — радиус окружности δn , dn — расстояние от центра окружности δn до прямой AB . Докажите, что = 2n...
Задача № 216293
Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром O окружность S переходит в окружность S' , то O — один из центров гомотетии окружностей S и S' .
Задача № 216287
Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача № 216123
С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины острых углов которого лежали бы на двух данных окружностях, а вершина прямого угла была расположена в данной точке.
Задача № 216122
С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых.
Задача № 216121
С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.
Задача № 216118
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая — на данной прямой, а третья — в данной точке.
Задача № 216117
С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD точки M и N так, чтобы угол при вершине A равнобедренного треугольника MAN был равен α .
Задача № 216116
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360o , является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360o .
Задача № 216115
С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
Задача № 216114
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.
Задача № 216113
Даны точки A и B и окружность S . С помощью циркуля и линейки постройте на окружности S такие точки C и D , что AC || BD и дуга CD имеет данную величину α .
Задача № 216112
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.
Задача № 216110
Дан треугольник ABC . На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.
Задача № 216109
На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника равносторонние треугольники BCA1, CAB1, ABC1, и проведены отрезки AA1, BB1и CC1. Докажите, что а) эти отрезки равны между собой; б) эти отрезки пересекаются в одной точке; в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков AA1, BB1, CC1.
Задача № 216108
Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом α .
Задача № 216107
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC . Пусть P и Q — середины отрезков A1B1и A1C1. Докажите, что треугольник APQ правильный.
Задача № 216106
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Задача № 216103
Высоты AA1и BB1треугольника ABC пересекается в точке H . Прямые AC и A1B1пересекаются в точке D . Докажите, что прямая DH перпендикулярна медиане BM треугольника ABC .
Задача № 216101
Пусть r — радиус вписанной окружности, а ra , rb и rc — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что а) = + + ; б) S = .
Задача № 216100
Окружность радиуса 3 проходит через вершину B , середины сторон AB и BC , а также касается стороны AC треугольника ABC . Угол BAC — острый, и sin BAC = . Найдите площадь треугольника ABC .
26–50 из 2875