Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 3-9 класса - сложность 1 с решениями
В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых <!-- MATH $2x + y - 6 = 0$ --> 2<i>x</i> + <i>y</i> - 6 = 0, <!-- MATH $x - y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - <i>y</i> + 4 = 0 и <i>y</i> + 1 = 0.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых <!-- MATH $3x + 2y - 5 = 0$ --> 3<i>x</i> + 2<i>y</i> - 5 = 0 и <!-- MATH $x - 3y + 2 = 0$ --> <i>x</i> - 3<i>y</i> + 2 = 0 параллельно оси ординат.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>M</i>(- 3;1) параллельно а) оси <i>Ox</i>; б) оси <i>Oy</i>.
Даны точки <i>A</i>(0; - 2), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(0;0) и <i>D</i>(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой <!-- MATH $2x - 3y + 7 = 0$ --> 2<i>x</i> - 3<i>y</i> + 7 = 0.
Прямая, параллельная стороне <i>LM</i> треугольника <i>KLM</i>, пересекает сторону <i>KL</i> в точке <i>A</i>, а сторону <i>KM</i> – в точке <i>B</i>. Площадь трапеции <i>ALMB</i> в три раза меньше площади треугольника <i>ABK</i>. Найдите <i>MB</i> : <i>MK</i>.
Прямая, параллельная стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>, а сторону <i>AC</i> – в точке <i>N</i>. Площадь треугольника <i>MCN</i> в два раза больше площади трапеции <i>ABMN</i>. Найдите <i>CM</i> : <i>MB</i>.
Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех – Аня, меньше всех – Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока – 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех – Аня?
Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них <i>a</i> человек считают, что будет лучше, <i>b</i> – что будет такой же, и <i>c</i> – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных: <i>m = a + <sup>b</sup></i>/<sub>2</sub> и <i>n = a – c</i>. Оказалось, что <i>m</i> = 40. Найдите <i>n</i>.
<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство: <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.
Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.
Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ⅔ метра?
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку<i> M</i>(<i>-</i>2<i>;</i>0<i>;</i>3)параллельно плоскости2<i>x - y - </i>3<i>z + </i>5<i> = </i>0.
Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
Поезд проходит мимо наблюдателя в течение <i>t</i><sub>1</sub> секунд, при той же скорости он проходит через мост длиной в <i>a</i> метров в течение <i>t</i><sub>2</sub> секунд.
Найти длину и скорость поезда.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.
Лист бумаги согнут пополам. Докажите, что линия сгиба — прямая.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Известно, что <i>AC</i><sub>1</sub> = <i>BA</i><sub>1</sub> = <i>CB</i><sub>1</sub>. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> правильный.
Две окружности с центрами<i>M</i>и<i>N</i>, лежащими на стороне<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>, касаются друг друга и пересекают стороны<i>AC</i>и<i>BC</i>в точках<i>A</i>,<i>P</i>и<i>B</i>,<i>Q</i>соответственно. Причем<i>AM</i>=<i>PM</i>= 2,<i>BN</i>= =<i>QN</i>= 5. Найдите радиус описанной около треугольника<i>ABC</i>окружности, если известно, что отношение площади треугольника<i>AQN</i>к площади треугольника<i>MPB</i>равно15$\sqrt{2+\sqrt{3}}$)/(5$\sqrt{3}$).
В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> с единичными сторонами середины <i>P</i>, <i>Q</i> сторон <i>AB</i>, <i>CD</i> и середины <i>S</i>, <i>T</i> сторон <i>BC</i>, <i>DE</i> соединены отрезками <i>PQ</i> и <i>ST</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины отрезков <i>PQ</i> и <i>ST</i>. Найдите длину отрезка <i>MN</i>.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> катет <i>AC</i> = 15 и катет <i>BC</i> = 20. На гипотенузе <i>AB</i> отложен отрезок <i>AD</i>, равный 4, и точка <i>D</i> соединена с <i>C</i>. Найдите <i>CD</i>.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> на продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>B</i> отложен отрезок <i>BD</i>, равный <i>BC</i>, и точка <i>D</i> соединена с <i>C</i>. Найдите стороны треугольника <i>ADC</i>, если катет <i>BC</i> = <i>a</i>.
В треугольнике основание равно 12; один из углов при нём равен <!-- MATH $120^{\circ}$ --> 120<sup><tt>o</tt></sup>; сторона против этого угла равна 28. Найдите третью сторону.
Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в <!-- MATH $60^{\circ}$ --> 60<sup><tt>o</tt></sup> и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.