Задание по олимпиадной математике: треугольник ABC и отрезок AD
Задача
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 15 и катет BC = 20. На гипотенузе AB отложен отрезок AD, равный 4, и точка D соединена с C. Найдите CD.
Решение
По теореме Пифагора
AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}+ BC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{15^{2} + 20^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{225 + 400}$ = $\displaystyle \sqrt{625}$ = 25.
Из прямоугольного треугольникаABCнаходим, что
cos$\displaystyle \angle$A = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$.
По теореме косинусов
CD2 = AC2 + AD2 - 2AC . AD cos$\displaystyle \angle$A = 152 + 42 - 2 . 15 . 4 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = = 225 + 16 - 72 = 169.
Следовательно,CD= 13.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет