Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.

В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.

В тетраэдре<i> ABCD </i>ребро<i> AB </i>перпендикулярно ребру<i> CD </i>,<i> P </i>— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки<i> O </i>до середин рёбер<i> AC </i>и<i> BD </i>равна сумме квадратов расстояний от точки<i> P </i>до середин рёбер<i> AD </i>и<i> BC </i>.

Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

Дан трёхгранный угол с вершиной<i> O </i>и точка<i> A </i>на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки<i> B </i>и<i> C </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников<i> ABC </i>.

В основании пирамиды объёма<i> V </i>лежит трапеция с основаниями<i> m </i>и<i> n </i>. Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма<i> U </i>, а в сечении получается снова трапеция с основаниями<i> m</i>1и<i> n</i>1. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_2.gif">=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_3.gif"> </i>.

На диагонали <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> выбрана такая точка <i>K</i>, что  ∠<i>AKB</i> = ∠<i>ADC</i>.  Пусть <i>I</i> и <i>I'</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ACD</i> и <i>ABK</i> соответственно. Отрезки <i>II'</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что точки <i>A, X, I, D</i> лежат на одной окружности.

Нижним основанием четырёхугольной усечённой пирамиды является ромб<i> ABCD </i>, у которого<i> AB=</i>4и<i> <img src="/storage/problem-media/111614/problem_111614_img_2.gif"> BAD=</i>60<i>^o </i>.<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1– боковые рёбра усечённой пирамиды, ребро<i> A</i>1<i>B</i>1<i>=</i>2, ребро<i> CC</i>1перпендикулярно плоскости основания и равно 2. На ребре<i> BC </i>взята точка<i> M </i>так, что<i> BM=</i>3, и через точки<i> B</i>1,<i> M </i>и центр ромба<i> ABCD </i>проведена плоскость. Найдите двугранный угол ме...

Ребро правильного тетраэдра<i> ABCD </i>равно<i> a </i>. На рёбрах<i> AB </i>и<i> CD </i>взяты соответственно точки<i> E </i>и<i> F </i>так, что вписанная в тетраэдр сфера делит отрезок<i> EF </i>, на три части, длины которых относятся как 3:5:4, считая от точки<i> E </i>. Найдите длину отрезка<i> EF </i>.

Шар, вписанный в правильную пирамиду<i> ABCD </i>, касается грани<i> ADC </i>в точке<i> K </i>. Через сторону<i> AB </i>основания<i> ABC </i>пирамиды и точку<i> K </i>проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если сторона основания пирамиды равна<i> b </i>, а высота пирамиды равна<i> b<img src="/storage/problem-media/111612/problem_111612_img_2.gif"> </i>.

Ребро правильного тетраэдра<i> ABCD </i>равно<i> a </i>. На рёбрах<i> AB </i>и<i> CD </i>взяты точки<i> E </i>и<i> F </i>так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через<i> E </i>и<i> F </i>, в точках<i> M </i>и<i> N </i>. Найдите длину отрезка<i> EF </i>, если<i> ME:EF:FN=</i>3<i>:</i>12<i>:</i>4.

В правильной четырёхугольной пирамиде<i> SABCD </i>с вершиной<i> S </i>сторона основания пирамиды равна<i> b </i>, а высота пирамиды равна<i> b<img src="/storage/problem-media/111610/problem_111610_img_2.gif"> </i>. Шар, вписанный в эту пирамиду, касается боковой грани<i> SAD </i>в точке<i> K </i>. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро<i> AB </i>и точку<i> K </i>.

В основании пирамиды<i> SABC </i>лежит правильный треугольник<i> ABC </i>, а все боковые грани имеют равные площади. Ребро<i> SA </i>равно 2, ребро<i> SB </i>равно<i> <img src="/storage/problem-media/111609/problem_111609_img_2.gif"> </i>. Через вершину<i> B </i>проведено сечение пирамиды перпендикулярно ребру<i> SC </i>. Найдите площадь этого сечения.

Нижним основанием призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1является правильный треугольник<i> ABC </i>со стороной2<i>a </i>. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной<i> AB </i>и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус шара, проходящего через вершины<i> A </i>,<i> B </i>,<i> A</i>1,<i> C</i>1равен2<i>a </i>. Найдите объём призмы. (Найдите все решения).

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1сторона верхнего основания<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро<i> B</i>1<i>C</i>1перпендикулярно к плоскости сечения<i> AD</i>1<i>C </i>, делит площадь грани<i> AA</i>1<i>D</i>1<i>D </i>на две равные части. Найдите объём пирамиды.

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1сторона верхнего основания<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро<i> B</i>1<i>C</i>1перпендикулярно к плоскости<i> AD</i>1<i>C </i>, делит пирамиду на две части равного объёма. Найдите объём пирамиды.

Сторона<i> BC </i>основания четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>и медианы<i> BM </i>и<i> CN </i>граней<i> SAB </i>и<i> SDC </i>лежат в одной плоскости. Вершина конуса совпадает с вершиной<i> S </i>пирамиды, а окружность основания конуса вписана в четырёхугольник<i> BMNC </i>и касается стороны<i> BC </i>в её середине. Точки касания этой окружности с отрезками<i> BM </i>и<i> CN </i>являются точками пересечения медиан граней<i> SAB </i>и<i> SDC </i>. Найдите отношение объёма конуса к объёму пирамиды.

Две равные сферы<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней<i> P </i>и<i> Q </i>прямого двугранного угла. Сфера<i> S</i>1касается грани<i> P </i>в точке<i> A </i>. Через эту точку проведена прямая, пересекающая сферу<i> S</i>1в точке<i> B </i>, касающаяся сферы<i> S</i>2в точке<i> C </i>и пересекающая грань<i> Q </i>в точке<i> D </i>. Прямая<i> AD </i>составляет с гранью<i> P </i>угол30<i>^o </i>. Найдите отношение<i> AB:BC:CD </i>.

Основанием прямого параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1является квадрат<i> ABCD </i>со стороной 1. Длина каждого из боковых рёбер<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1равна<i> <img src="/storage/problem-media/111593/problem_111593_img_2.gif"> </i>. Прямой круговой цилиндр расположен так, что точки<i> A </i>,<i> A</i>1,<i> D </i>лежат на его боковой поверхности, а ось цилиндра параллельна диагонали<i> BD</i>1параллелепипеда. Найдите радиус цилиндра.

Основанием пирамиды<i> ABCD </i>является правильный треугольник<i> ABC </i>со стороной 12. Ребро<i> BD </i>перпендикулярно плоскости основания и равно10<i><img src="/storage/problem-media/111592/problem_111592_img_2.gif"> </i>. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро<i> BD </i>и плоскость<i> ABC </i>. Найдите радиус цилиндра (найдите все решения).

Сторона основания<i> ABC </i>правильной призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1равна 1, а каждое из боковых рёбер имеет длину<i> <img src="/storage/problem-media/111591/problem_111591_img_2.gif"> </i>. Прямой круговой цилиндр расположен так, что точка<i> A</i>1и середина<i> M </i>ребра<i> CC</i>1лежат на его боковой поверхности, а ось цилиндра параллельна прямой<i> AB</i>1и отстоит от неё на расстоянии<i> <img src="/storage/problem-media/111591/problem_111591_img_3.gif"> </i>. Найдите радиус цилиндра.

Основанием прямого параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1является квадрат<i> ABCD </i>со стороной 4, а длина каждого бокового ребра<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1равна 6. Прямой круговой цилиндр расположен так, что его ось лежит в плоскости<i> BB</i>1<i>D</i>1<i>D </i>, а точки<i> A</i>1,<i> C</i>1,<i> B</i>1и центр<i> O </i>квадрата<i> ABCD </i>лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус цилиндра (найдите все решения).

Две равные сферы<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней<i> P </i>и<i> Q </i>двугранного угла величины2<i>α </i>. Сфера<i> S</i>1касается грани<i> P </i>в точке<i> A </i>, а сфера<i> S</i>2касается грани<i> Q </i>в точке<i> B </i>. В каком отношении отрезок<i> AB </i>делится сферами?

В пирамиде<i> MNPQ </i>плоские углы<i> QMN </i>,<i> MNP </i>,<i> NPQ </i>– прямые. Вершины<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>правильного тетраэдра расположены соответственно на рёбрах<i> MP </i>,<i> NP </i>,<i> NQ </i>,<i> PQ </i>пирамиды<i> MNPQ </i>. Ребро<i> AB </i>параллельно ребру<i> MN </i>. Найдите отношение объёмов правильного тетраэдра<i> ABCD </i>и пирамиды<i> MNPQ </i>

Сторона основания<i> MNP </i>правильной пирамиды<i> MNPQ </i>равна 5. Основанием правильной пирамиды<i> SABCD </i>является квадрат<i> ABCD </i>. Все вершины пирамиды<i> SABCD </i>расположены на рёбрах пирамиды<i> MNPQ </i>, причём вершина<i> S </i>лежит на ребре<i> QM </i>и<i> MS=<img src="/storage/problem-media/111587/problem_111587_img_2.gif">MQ </i>. Найдите объём пирамиды<i> SABCD </i>.