Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.
Точки и выбираются на стороне треугольника так, что . Отрезки и в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник . Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.
Вписанная в треугольник окружность с центром касается его сторон , и в точках , и соответственно. Вневписанная окружность с центром касается стороны в точке и продолжений сторон и в точках и соответственно. Пусть прямые и пересекаются в точке , прямые и – в точке , прямые и – в точке . Докажите, что если одна из точек , , лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
Хорда окружности, описанной около треугольника , пересекает стороны , в точках , соответственно. Касательные к окружности в точках и пересекаются в точке , а касательные в точках и – в точке . Прямая пересекает в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
В треугольнике проведена медиана и на ней выбрана точка . Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника в точках и , пересекаются в точке . Докажите, что параллельно , где – точка, изогонально сопряжённая точке относительно треугольника .
В остроугольном треугольнике точки , – центры описанной и вписанной окружностей, – произвольная точка на отрезке , точки , и – вторые точки пересечения прямых , и с окружностью . Докажите. что биссектрисы углов , и пересекаются в одной точке, лежащей на прямой .
Пусть , , – вневписанные окружности треугольника , касающиеся сторон , , соответственно. Обозначим через общую внешнюю касательную окружностей и , отличную от . Аналогично определим , . Из точки , лежащей на , проведем отличную от касательную к и найдем точку ее пересечения с . Аналогично найдем точку пересечения касательной из к с . Докажите, что прямая касается .
В равнобедренном треугольнике () проведена высота . Окружность с центром в середине касается прямых и . Из точки прямой проведены две касательные к . Докажите, что эти касательные высекают на прямых и равные отрезки.
Даны два треугольника и . Прямые и пересекаются в точке , а параллельные им прямые, проходящие через и , соответственно, в точке . Точки , , , определяются аналогично. Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что AP = BQ.
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, B0 – точка пересечения BB1 и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A1C1B0. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.
BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что AB·CF = 2BC·FA, CD·EB = 2DE·BC, EF·AD = 2FA·DE. Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. Пусть A2, B2 – середины отрезков B1C1, A1C1 соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA2 и PB2 вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC соответственно, а Ia и Ja – центры вневписанных окружностей треугольников ABC и ADC, вписанных в углы BAC и DAC соответственн). Докажите, что точка K пересечения прямых IJa и JIa лежит на биссектрисе угла BCD.
Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.
В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.
Точки A,B,C,Dлежат на одной прямой. Докажите, что если (ABCD) = 1, то либоA=B, либоC=D.