Около остроугольного треугольника описана окружность с центром . Точка диаметрально противоположна на . На меньшей дуге окружности выбрана точка . Точка симметрична относительно стороны . Прямая вторично пересекает в точке . Серединный перпендикуляр к пересекает стороны и в точках и соответственно. Докажите, что .
В треугольнике угол равен . Точка – центр вписанной окружности, – середина . Прямая, проходящая через и параллельная , пересекает окружность с диаметром в точках и (точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой ). Прямая, проходящая через и перпендикулярная , пересекает прямые и в точках и . Найдите угол .
Выпуклый четырехугольник таков, что . Докажите, что середина диагонали лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники и .
На сторонах , , треугольника выбраны точки , , соответственно так, что , . Точка – ортоцентр треугольника , точка – центр описанной окружности треугольника . Докажите, что .
Внутри параллелограмма взята такая точка , что ∠ = ∠. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника , лежащая против вершины , а ω – вписанная окружность треугольника . Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна .
На плоскости проведены три прямые, образующие остроугольный неравнобедренный треугольник. Федя, у которого есть циркуль и линейка, хочет провести все высоты этого треугольника. Ваня с ластиком пытается ему помешать. За ход Федя проводит либо прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке, проходящую через другую отмеченную точку. После этого Федя отмечает любое количество точек (точки пересечения проведенных линий, случайные точки на проведенных линиях и случайные точки плоскости). Ваня за ход стирает не более трех отмеченных точек. (Федя не может использовать...
Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника отмечена точка , такая что . Окружность с центром проходит через середины сторон треугольника . Оказалось, что точки лежат на одной прямой. Найдите угол .
В шестиугольнике никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали , и пересекаются в одной точке. Обозначим через радикальную ось окружностей и (мы считаем, что точки и совпадают). Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике точки и – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, . Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная , пересекает сторону и касательную к описанной окружности в точке в точках и соответственно. Докажите, что .
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I и вписан в окружность Ω. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что описанная окружность ω треугольника PIQ перпендикулярна Ω.
Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что AP = BQ.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ωQ и ωP треугольников ACQ и BDP.
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что Oa, Ob и Oc лежат на одной прямой.
В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках AB и AC соответственно. Обозначим через Oa центр описанной окружности треугольника AABAC. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что описанная окружность треугольника OaObOc касается описанной окружности исходного треугольника.