Дан выпуклый четырёхугольник . Точки и лежат на продолжениях за точку сторон и соответственно, причем и . Аналогично, точки и лежат на продолжениях за точку сторон и , причем и . Пусть – середина , – середина . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Выпуклый четырехугольник таков, что . Докажите, что середина диагонали лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники и .
Дан отрезок . Точки в пространстве выбираются так, чтобы был правильным треугольником, а – квадратом. Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников попадают на некоторую фиксированную окружность.