Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Докажите, что диагонали AD, BE, CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев: а) AB = BC, CD = DE, EF = FA; б) AB = BC, CD = FA, EF = DE; в) AB = DE, CD = FA, EF = BC.
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.
В треугольнике ABC M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A1 и B1 – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA1 и BB1. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда GM || AB.
Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.
На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A1, B1, другая – в точках A2 , B2. Прямые A1B2 и A2B1 пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.
На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.
Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.; б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.
В трапеции ABCD на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B – прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на стороне CD.
Проекцией точкиAиз точкиOна плоскостьPназывается точкаA', в которой прямаяOAпересекает плоскостьP. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точкаOне лежит в его плоскости?
В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что: 1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки; 2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой; 3) на каждом маршруте не менее трёх остановок. Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?
Автобусная сеть города устроена следующим образом: 1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки; 2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой; 3) на каждом маршруте ровно три остановки. Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)
Пустьl1,l2, ...,ln —несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точкеX1,X2, ...,Xnтак, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямойlkв точкеXk(для любого натуральногоk < n),проходил через точкуXk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямойlnвточке Xn,проходил черезточку X1.Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Точки и выбираются на стороне треугольника так, что . Отрезки и в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник . Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.
Вписанная в треугольник окружность с центром касается его сторон , и в точках , и соответственно. Вневписанная окружность с центром касается стороны в точке и продолжений сторон и в точках и соответственно. Пусть прямые и пересекаются в точке , прямые и – в точке , прямые и – в точке . Докажите, что если одна из точек , , лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
Хорда окружности, описанной около треугольника , пересекает стороны , в точках , соответственно. Касательные к окружности в точках и пересекаются в точке , а касательные в точках и – в точке . Прямая пересекает в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине ; – точка, симметричная относительно прямой . Аналогично построим точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Окружность , вписанная в неравнобедренный треугольник , касается его сторон и в точках и соответственно. Точка на луче такова, что . Точка на луче такова, что . Окружности и повторно пересекают в точках и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются в одной точке.
В трапецию () вписана окружность , которая касается сторон , , и в точках , , , соответственно. Прямая, проходящая через точку параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Дан треугольник . Точки , , , берутся на его описанной окружности так, что , , . Прямые и пересекаются в точке , а прямые и – в точке . Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
В треугольнике проведена медиана и на ней выбрана точка . Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника в точках и , пересекаются в точке . Докажите, что параллельно , где – точка, изогонально сопряжённая точке относительно треугольника .
В остроугольном треугольнике точки , – центры описанной и вписанной окружностей, – произвольная точка на отрезке , точки , и – вторые точки пересечения прямых , и с окружностью . Докажите. что биссектрисы углов , и пересекаются в одной точке, лежащей на прямой .
Дан эллипс с фокусом . Две перпендикулярные прямые, проходящие через , пересекают эллипс в четырех точках. Касательные к эллипсу в этих точках образуют описанный вокруг эллипса четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник вписан в конику с фокусом .