Бродский Д. Ю. — автор

Задача № 1673729 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 167372

Точки $P$ и $Q$ выбираются на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что $BP=CQ$ . Отрезки $AP$ и $AQ$ в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник $XYZT$ . Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673149 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167314

Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$ , а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$ , сильно кубические?

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 16724910 класс11 класс5 / 5

Задача № 167249

Пусть $ABC$ – треугольник Понселе, точка $A_1$ симметрична $A$ относительно центра вписанной окружности $I$ , точка $A_2$ изогонально сопряжена $A_1$ относительно $ABC$ . Найдите ГМТ $A_2$ .

Заславский А. А., Шестаков С. А., Бродский Д. Ю., Reznik D.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671858 класс9 класс10 класс4 / 5

Задача № 167185

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$ , продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$ . Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$ , пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$ . Найдите длину отрезка $XY$ .

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671817 класс8 класс9 класс4 / 5

Задача № 167181

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$ , $CA'B$ , $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$ , в котором каждый из углов $A'BC'$ , $C'AB'$ , $B'CA'$ больше $120^\circ$ , а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$ , $BC'=BA'$ , $CA'=CB'$ . Докажите, что из отрезков $AB'$ , $BC'$ , $CA'$ можно составить треугольник.

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671319 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 167131

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ , $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$ , точки $P_A$ , $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$ , $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$ . Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$ , $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$ .

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671238 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167123

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ( $AD > BC$ ) пересекаются в точке $P$ . На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$ , что $BQ=CQ$ . Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$ , перпендикулярна прямой $PQ$ .

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 16707010 класс11 класс2 / 5

Задача № 167070

Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA, PB$ и $PC$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1670309 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167030

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$ . На продолжении отрезка $LA$ за точку $A$ выбрана точка $K$ так, что $AK = AL$ . Описанные окружности треугольников $BLK$ и $CLK$ пересекают отрезки $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1670249 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167024

Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ . Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$ . Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$ .

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1669839 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 166983

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $S$ . Точки $X$ , $Y$ на биссектрисе угла $S$ таковы, что $\angle AXC-\angle AYC=\angle ASC$ . Докажите, что $\angle BXD-\angle BYD=\angle BSD$ .

Бродский Д. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →