На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что ∠QPH = 90°.
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠B = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠PQB = 2∠PCQ.
H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.
В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки IA, IC – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и AB соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника IIAIC. Докажите, что OI ⊥ AC.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Пусть I – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, касающейся катетов AC и BC в точках B0 и A0 соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A0 на прямую AI, и перпендикуляр, опущенный из B0 на прямую BI, пересекаются в точке P. Докажите, что прямые CP и AB перпендикулярны.
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
Диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке . Биссектриса угла пересекает диагональ в точке , а биссектриса угла – диагональ в точке . Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника .
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине ; – точка, симметричная относительно прямой . Аналогично построим точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Биссектрисы , треугольника , в котором , пересекаются в точке . Описанные окружности треугольников , пересекаются в точке . Докажите, что прямая проходит через середину стороны .
Биссектрисы и пересекают описанную окружность треугольника в точках , соответственно. Описанная окружность треугольника пересекает сторону в точке ; аналогично определим . Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Пусть , , – основания высот остроугольного треугольника . Окружность, вписанная в треугольник , касается сторон в точках . Докажите, что прямые пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника .
Пусть – высота прямоугольного треугольника . Вневписанная окружность треугольника , противолежащая вершине , касается прямой в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что .
Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон , , в точках , , соответственно. Пусть – точка, симметричная относительно прямой ; аналогично определяется точка . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная , пересекает прямую в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что касательная, проведенная в точке к описанной окружности треугольника , параллельна прямой .
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной ; аналогично определяются точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
В треугольнике , – высота; – биссектрисы углов соответственно; – середины отрезков и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на биссектрисе угла .
Высоты , остроугольного треугольника пересекаются в точке ; – середина стороны . Прямая, проходящая через вершину параллельно , пересекает прямые , в точках , соответственно. Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Cерединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает прямые , в точках и соответственно. Точки , – центры описанных окружностей треугольников и соответственно. Докажите, что .
Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает прямые , в точках , . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
В треугольнике , , , – середины сторон , , соответственно. На отрезках и во внешнюю сторону построены как на основаниях равносторонние треугольники с вершинами , . Найдите угол .
Пусть , , – высоты треугольника ; , – точки пересечения описанной окружности треугольника с прямыми и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника или параллельны ей.
Окружность проходит через центр окружности и пересекает ее в точках и . Окружность с центром в точке и радиусом пересекает повторно окружности и в точках и (отличных от ). Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Высоты , остроугольного треугольника пересекают внутреннюю биссектрису угла в точках , , а внешнюю в точках , . Докажите, что ортоцентры треугольников , и вершина лежат на одной прямой.
Четырехугольник вписан в окружность. По дуге , не содержащей точек и , движется точка . Фиксированная прямая , перпендикулярная прямой , пересекает лучи , в точках , соответственно. Докажите, что касательная, проведенная к описанной окружности треугольника в точке , проходит через фиксированную точку.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а Oa, Ob – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка OaOb лежит на прямой AB.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что AG = AB.
Высоты AA1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. HA – точка симметричная H относительно A. HAC1 пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что A'C' || AC.
AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, B0 – точка пересечения BB1 и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A1C1B0. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.
Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Описанная окружность треугольника A1BC1 пересекает прямые B1A1 и B1C1 в точках A0 и C0 соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A0BC0, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.
По стороне AB треугольника ABC движется точка X, а по описанной окружности Ω – точка Y так, что прямая XY проходит через середину дуги AB. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IXY, где I – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Пусть M и N – середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC соответственно. Вневписанная окружность треугольника ACM касается стороны AM в точке Q, а прямой AC – в точке P. Докажите, что точки P, Q и N лежат на одной прямой.
В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AHc, CHa пересекаются в точке K. Докажите, что ∠MBK = 90°.
В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AHc, CHa пересекаются на средней линии треугольника ABC.
Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) касается стороны BC в точке A1, а прямой AC в точке A2. Прямая A1A2 пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника ABC в точке A'; аналогично определяется точка C'. Докажите, что AC || A'C'.
Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A1 и C1 соответственно. Докажите, что A1H = C1H.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC (∠B = 90°), касается сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. A2, C2 – точки, симметричные точке B1 относительно прямых BC, AB соответственно. Докажите, что прямые A1A2, C1C2 пересекаются на медиане треугольника ABC.
В треугольнике ABC ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C1. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B1. Докажите, что прямая B1C1 касается вписанной окружности треугольника ABC.
В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LIbIc.
Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что O1M = O2M.
На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты такие точки M и N (M лежит между B и N) , что ∠MAN = 30°. Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN.
На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что ∠AEC = 90°. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1 вписан в окружность с центром N.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA1B1. Докажите, что OI ⊥ AB.
Пусть BM – медиана прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°). Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается сторон AB, AM в точках A1, A2; аналогично определяются точки C1, C2. Докажите, что прямые A1A2 и C1C2 пересекаются на биссектрисе угла ABC.