Задача № 216421
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что IM : AB = IN : CD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.
Белухов Н.
44 задачЗадача № 216403
Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.
Задача № 215900
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Задача № 215896
Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC касаются стороны BC в точках M и N. Известно, что ∠BAC = 2∠MAN. Докажите, что BC = 2MN.
Задача № 215892
В треугольнике ABC ∠A = 57
Задача № 167225
В треугольнике проведена медиана и на ней выбрана точка . Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника в точках и , пересекаются в точке . Докажите, что параллельно , где – точка, изогонально сопряжённая точке относительно треугольника .
Задача № 167023
Даны выпуклый многоугольник и простое число . Оказалось, что существует ровно способов разбить на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника равна – 1.
Задача № 166956
Отображение ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия: – Если произвольное подобие переводит треугольник в , то переводит окружность в . – Для любых четырех точек общего положения , , , окружности , , и имеют общую точку. Докажите, что для любого треугольника окружность совпадает с окружностью девяти точек треугольника .
Задача № 166954
Пусть – медиана неравнобедренного треугольника , – точка касания вписанной окружности со стороной , – вторая точка пересечения с отрезком . Докажите, что вписанная окружность треугольника , образованного прямыми , и касательной к в точке , касается описанной окружности треугольника .
Задача № 166935
Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше . На плоскости даны точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых -угольников с вершинами в этих точках?
Задача № 166888
Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски , где — нечётное натуральное число, большее . В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от .
Задача № 166864
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?
Задача № 166806
Любые три последовательные вершины невыпуклого многоугольника образуют прямоугольный треугольник. Обязательно ли у многоугольника найдется угол, равный или градусам?
Задача № 166800
Найдите наименьшее натуральное такое, что в любом выпуклом -угольнике сумма длин любых диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.
Задача № 166792
Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от до так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало ? А чтобы не превышало ?
Задача № 166786
Четырехугольник без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром . Точки , , и – середины сторон , , и . Известно, что . Докажите, что .
Задача № 166707
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение обозначает одно из следующих: или . Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно .
Задача № 166688
Четырехугольник описан вокруг окружности радиуса . Найдите наибольшее возможное значение величины .
Задача № 166685
На плоскости дано конечное множество точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множестворазделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество разделимо?
Задача № 166681
Правильный -угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же -угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда -угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную . Докажите, что ограничивает площадь, равную , где , – площади правильных -угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.
Задача № 166676
Вершины треугольника лежат на разных сторонах треугольника . Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник окружности к вневписанным окружностям треугольника , равны. Докажите, что .
Задача № 166663
Шесть кругов с радиусами, равными 1, расположены на плоскости так, что расстояние между центрами любых двух из них больше . При каком наименьшем можно утверждать, что найдется прямая, не пересекающая ни одного из кругов, по каждую сторону от которой лежат три круга?
Задача № 166590
Пусть и – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке , каждый раз либо на вправо, либо на влево. Однажды лягушка вернулась в . Докажите, что для любого натурального найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на .
Задача № 166567
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно черных клеток, либо вовсе не было черных клеток?
Задача № 166470
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение a?b обозначает одно из следующих: a – b, b – a или a + b. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные a, b и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!" и "?" записать выражение, которое гарантированно равно 20a – 18b.
Задача № 166271
Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек {i, j, k}, где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A1A2...A100 с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников AiAjAk. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?
Задача № 166263
Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?
Задача № 166255
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Задача № 166224
Выпуклый шестиугольник A1A2...A6 описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего r можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче r?
Задача № 165363
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
Задача № 165051
Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?
Задача № 165049
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'. а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'. б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Задача № 165046
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.
Задача № 165026
Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра. Найдите отношение рёбер икосаэдров.
Задача № 165024
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что AB·CF = 2BC·FA, CD·EB = 2DE·BC, EF·AD = 2FA·DE. Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Задача № 164923
Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.
Задача № 164883
Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A1, сторону LM в точках B и B1, и т.д. Докажите что а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD1A1, LA1B1, MB1C1 и NC1D1 также пересекаются в одной точке Q; б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.
Задача № 164862
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.
Задача № 164811
Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
Задача № 164810
Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.)
Задача № 164749
Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Задача № 164740
В треугольнике ABC ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.
Задача № 164404
Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа. Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).
Задача № 164396
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.