Хорда описанной около треугольника окружности пересекает стороны и в точках и соответственно, точка лежит между и . В треугольниках и провели биссектрисы и . Оказалось, что точки , , , лежат на одной окружности. Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Дан треугольник с углом , равным . Его вписанная окружность касается стороны в точке , а вневписанная окружность, касающаяся стороны , касается продолжения стороны в точке . Докажите, что перпендикуляр к стороне , проходящий через точку , вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек и . (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)
Вписанная в треугольник окружность с центром касается его сторон , и в точках , и соответственно. Вневписанная окружность с центром касается стороны в точке и продолжений сторон и в точках и соответственно. Пусть прямые и пересекаются в точке , прямые и – в точке , прямые и – в точке . Докажите, что если одна из точек , , лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
В треугольнике проведены биссектрисы , и . Отрезки и пересекаются в точке . Точка – проекция точки на сторону . Точки и лежат на сторонах и соответственно так, что , . Докажите, что .
В трапецию () вписана окружность , которая касается сторон , , и в точках , , , соответственно. Прямая, проходящая через точку параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Пусть точка – середина катета прямоугольного треугольника с прямым углом . На медиане треугольника отмечена точка , так что углы и равны. Докажите, что угол также равен этим углам.
На боковой стороне равнобедренного треугольника выбрана точка . Луч пересекает прямую, проходящую через вершину и параллельную основанию , в точке . Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника в точке делит отрезок пополам.
Эллипс c фокусами в серединах сторон и треугольника проходит через вершину , а эллипс c фокусами в серединах сторон и проходит через вершину . Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника лежат на одной прямой.
В трапеции основание вдвое больше основания , а угол в полтора раза больше угла . Диагональ делит угол на два угла. Определите, какой из них больше?
На боковых сторонах и равнобедренного треугольника отмечены точки и так, что . Точка симметрична точке относительно прямой . Докажите, что прямая проходит через точку пересечения биссектрис треугольника .
Пусть – середина меньшей дуги описанной окружности остроугольного треугольника . Из вершины на касательную к описанной окружности, проведённую в точке , опустили перпендикуляр . Докажите, что точки , и середины сторон и лежат на одной окружности.
Из точки к окружности проведены касательные и . На отрезке отмечена середина и произвольная точка . Прямая пересекает окружность в точках и . Докажите, что общие внешние касательные к окружностям и пересекаются на средней линии треугольника .
Хорды и окружности пересекаются в точке , причем . На отрезке отметили точку , так что . Биссектриса угла пересекает дугу в точке . Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.
Средняя линия, параллельная стороне треугольника , пересекает его описанную окружность в точках и . Пусть – центр вписанной окружности треугольника , а – середина дуги , не содержащей точку . На отрезке отметили точку такую, что . Докажите, что из точек и отрезок виден под равными углами.
Четырёхугольник вписан в окружность с центром . Пусть – точка пересечения его диагоналей, а точки и – середины сторон и соответственно. Окружность вторично пересекает отрезки и в точках и соответственно, а окружность вторично пересекает отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников и равны.
Точка – середина большей боковой стороны прямоугольной трапеции . Описанные около треугольников и окружности и пересекаются в точке . Пусть пересекает в точке , а пересекает в . Докажите, что – биссектриса угла .
Дан неравнобедренный треугольник . Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника внутренним образом в точке и не пересекающую прямую . Отметим на ω точки и так, чтобы прямые и касались ω, а отрезки и пересекались внутри треугольника . Докажите, что все полученные таким образом прямые проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.
Четырёхугольник вписан в окружность ω с центром в точке . Описанная окружность Ω треугольника пересекает вторично прямые и в точках и соответственно. Докажите, что прямые и касательные, проведённые к ω в точках и , касаются одной окружности.
Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.