Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Несколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°.
Можно ли из 18 доминошек 1×2 выложить квадрат 6×6 так, чтобы при этом не получалось ни одного прямого "шва", соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток?
Докажите, что для любого числа <i>d</i>, не делящегося на 2 и на 5, найдётся число, в десятичной записи которого содержатся одни единицы и которое делится на <i>d</i>.
Расположите 10 треугольников на плоскости так, чтобы любые два из них имели общую точку, а любые три - нет.
Дано число 100...01, число нулей в нем равно 299. Докажите, что это число составное.
8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4 теннисиста A,B,C,D, такие что A выиграл у B,C,D, B выиграл у C и D, C выиграл у D.
Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок своими концами упирался строго внутрь других отрезков.
Дано 8 действительных чисел: a,b,c,d,,e,f,g,h. Докажите, что хотя бы одно из 6 чисел ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh неотрицательно.
Можно ли расставить на ребрах 5-угольной пирамиды стрелки, так что сумма всех образовавшихся 10 векторов была бы равна 0.
Найдите какое-нибудь такое натуральное число <i>A</i>, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число будет полным квадратом.
Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка. Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не менее, чем в 4 цвета.
Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи. (Последовательность Фибоначчи {a<sub>n</sub>} определяется условиями a<sub>1</sub>=1, a<sub>2</sub>=2, a<sub>n+2</sub>=a<sub>n+1</sub>+a<sub>n</sub>.)
Докажите, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 100.
Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти 4 плоскости пересекаются в одной точке.
Докажите, что уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>³ = <i>z</i><sup>5</sup> имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
Существует ли 25-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно три раза?
Дано 27 монет, из которых одна фальшивая, причём фальшивая монета легче настоящей.
Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
Докажите, что квадрат нечётного числа дает остаток 1 при делении на 8.
План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний?
На плоскости нарисовано несколько многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая все эти многоугольники.
Пусть <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b</i><sub>7</sub> – это целые числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>7</sub>, взятые в некотором другом порядке. Докажите, что число (<i>a</i><sub>1</sub> – <i>b</i><sub>1</sub>)(<i>a</i><sub>2</sub> – <i>b</i><sub>2</sub>)...(<i>a</i><sub>7</sub> – <i>b</i><sub>7</sub>) чётно.
Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно <i>n</i> целочисленных точек.
Дан приведенный квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>bx + c</i>, имеющий два различных корня. Обозначим за <i>D</i> его дискриминант (<i>D = b</i>² – 4<i>c</i>). Сколько корней имеет уравнение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/34939/problem_34939_img_2.gif">
Какие остатки могут получиться при делении <i>n</i>³ + 3 на <i>n</i> + 1 при натуральном <i>n</i> > 2?