Корни уравнения с дискриминантом D — олимпиадная задача по многочленам
Задача
Дан приведенный квадратный трёхчлен f(x) = x² + bx + c, имеющий два различных корня. Обозначим за D его дискриминант (D = b² – 4c). Сколько корней имеет уравнение 
Решение
Пусть 
x1, x2 (x1 < x2) – корни уравнения f(x) = 0. Из формулы корней видно, что x2 = x1 + d. График функции f(x – d) получается из графика функции f(x) сдвигом на d вправо вдоль оси Ox. Поэтому во-первых, x2 является корнем уравнения f(x – d) = 0 (и следовательно, корнем уравнения
f(x) + f(x – d) = 0), а во-вторых, графики функций f(x) и f(x – d) симметричны относительно вертикальной прямой x = x2), и, значит, график функции
f(x) + f(x – d) также симметричен относительно этой прямой. Получаем, что квадратный трёхчлен f(x) + f(x – d) имеет нечётное число корней (одним из корней является x2, а остальные разбиваются на пары симметричных относительно x2). Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то есть единственная возможность – уравнение f(x) + f(x – d) = 0 имеет в точности один корень.
Ответ
Один корень.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь