Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что <i>k</i> монетами можно набрать <i>m</i> копеек.
Докажите, что <i>m</i> монетами можно набрать <i>k</i> рублей.
На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB (С - точка на дуге AB) этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и дуги ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.
Среди поля проходит прямая дорога, по которой со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из которых можно догнать автобус, если бежать с такой же скоростью.
Найти все действительные решения уравнения с 4 неизвестными: <i>x</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup> + <i>z</i><sup>2</sup> + <i>t</i><sup>2</sup> = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).
На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток.)
Подряд выписаны числа 2<sup>2000</sup>и 5<sup>2000</sup>. Сколько всего выписано цифр?
Три офиса A, B и C одной фирмы расположены в вершинах треугольника. В офисе A работают 10 человек, в офисе B - 20, а в офисе C - 30. Где нужно построить столовую, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками фирмы, было бы как можно меньше?
Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути.
Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?
На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость <i>n</i> окружностей?
На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?
Внутри угла расположена точка O. Как провести отрезок AB с концами на сторонах угла, проходящий через точку O, который делится точкой O пополам?
n разбойников делят добычу. У каждого из них свое мнение о ценности той или иной доли добычи, и каждый из них хочет получить не меньше, чем 1/n долю добычи (со своей точки зрения). Придумайте, как разделить добычу между разбойниками.
Каждая из сторон выпуклого четырехугольника пересекает некоторую окружность в двух точках, причем окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
10 человек собрали вместе 46 грибов, причём известно, что нет двух человек, собравших одинаковое число грибов.
Сколько грибов собрал каждый?
Найдите сумму 6+66+666+...+666..6, где в записи последнего числа присутствуют n шестерок.
У деда Мороза в мешке бесконечное число конфет, занумерованных натуральными числами. За минуту до Нового года он начинает дарить детям конфеты. Сначала он дарит детям конфету с номером 1. За полминуты до Нового года он дарит 2 конфеты с номерами 2 и 3, а конфету с номером 1 отбирает, за 15 секунд до Нового года он дарит 4 конфеты с номерами 4, 5, 6, 7, а 2 конфеты с номерами 2 и 3 отбирает, и т.д., за 1/2<sup>n</sup>долю минуты до Нового года дед Мороз дарит 2<sup>n</sup>конфет с номерами от 2<sup>n</sup>до 2<sup>n+1</sup>-1 и отбирает 2<sup>n-1</sup>конфет с номерами от 2<sup>n-1</sup>до 2<sup>n</sup>-1. Сколько конфет будет у деда Мороза и у детей в момент встречи Нового года?
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения точки.
Два пловца одновременно прыгнули с плывущего по реке плота и поплыли в разные стороны: первый – по течению, а второй – против течения. Через пять минут они развернулись и вскоре вновь оказались на плоту. Кто из них вернулся раньше? (Каждый из пловцов плывет с постоянной собственной скоростью.)
Известно, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000. Найдите цифру, заменённую звездочкой.
Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>.
Докажите, что произведение площадей треугольников <i>AOB</i> и <i>COD</i> равно произведению площадей треугольников <i>BOC</i> и <i>DOA</i>.
Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?
На плоскости расположено <i>n</i> точек (<i>n</i> > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что среди треугольников с вершинами в данных точках остроугольные треугольники составляют не более трёх четвертей.
Найдите все пары натуральных чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению <i>xy – x</i> + 4<i>y</i> = 15.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.
В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трёх щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться?