Олимпиадная планиметрическая задача про окружности S и S′
Задача
На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB (С - точка на дуге AB) этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и дуги ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.
Решение
Пусть D - середина дуги AB окружности S, дополнительной к дуге ACB. Покажем, что прямая PQ всегда проходит через точку D. Поскольку окружности S и S' касаются в точке Q, существует гомотетия с центром в Q, переводящая окружность S' в окружность S. При этой гомотетии точка P перейдет в некоторую точку P' дуги ADB окружности S, лежащую на прямой PQ. Кроме того, касательная к окружности S, проведенная в точке P', должна быть параллельна касательной к окружности S', проведенной в точке P (т.е. хорде AB). Единственная точка на дуге ADB окружности S, касательная в которой параллельна хорде AB - это точка D. Поэтому P' совпадает с D, тем самым, утверждение задачи доказано.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь