Задача № 134970
Несколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 134969
Можно ли из 18 доминошек 1×2 выложить квадрат 6×6 так, чтобы при этом не получалось ни одного прямого "шва", соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток?
Задача № 134968
Докажите, что для любого числа d, не делящегося на 2 и на 5, найдётся число, в десятичной записи которого содержатся одни единицы и которое делится на d.
Задача № 134967
Расположите 10 треугольников на плоскости так, чтобы любые два из них имели общую точку, а любые три - нет.
Задача № 134966
Дано число 100...01, число нулей в нем равно 299. Докажите, что это число составное.
Задача № 134963
8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4 теннисиста A,B,C,D, такие что A выиграл у B,C,D, B выиграл у C и D, C выиграл у D.
Задача № 134962
Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок своими концами упирался строго внутрь других отрезков.
Задача № 134961
Дано 8 действительных чисел: a,b,c,d,,e,f,g,h. Докажите, что хотя бы одно из 6 чисел ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh неотрицательно.
Задача № 134959
Можно ли расставить на ребрах 5-угольной пирамиды стрелки, так что сумма всех образовавшихся 10 векторов была бы равна 0.
Задача № 134958
Найдите какое-нибудь такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число будет полным квадратом.
Задача № 134954
Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?
Задача № 134953
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка. Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не менее, чем в 4 цвета.
Задача № 134952
Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи. (Последовательность Фибоначчи {an} определяется условиями a1=1, a2=2, an+2=an+1+an.)
Задача № 134951
Докажите, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 100.
Задача № 134949
Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти 4 плоскости пересекаются в одной точке.
Задача № 134947
Докажите, что уравнение x² + y³ = z5 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
Задача № 134946
Существует ли 25-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно три раза?
Задача № 134945
Дано 27 монет, из которых одна фальшивая, причём фальшивая монета легче настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
Задача № 134944
Докажите, что квадрат нечётного числа дает остаток 1 при делении на 8.
Задача № 134943
План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний?
Задача № 134942
На плоскости нарисовано несколько многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая все эти многоугольники.
Задача № 134941
Пусть b1, b2, ..., b7 – это целые числа a1, a2, ..., a7, взятые в некотором другом порядке. Докажите, что число (a1 – b1)(a2 – b2)...(a7 – b7) чётно.
Задача № 134940
Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.
Задача № 134939
Дан приведенный квадратный трёхчлен f(x) = x² + bx + c, имеющий два различных корня. Обозначим за D его дискриминант (D = b² – 4c). Сколько корней имеет уравнение
Задача № 134938
Какие остатки могут получиться при делении n³ + 3 на n + 1 при натуральном n > 2?
7426–7450 из 7538