Задача № 135037
В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что k монетами можно набрать m копеек. Докажите, что m монетами можно набрать k рублей.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 135035
На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB (С - точка на дуге AB) этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и дуги ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.
Задача № 135034
Среди поля проходит прямая дорога, по которой со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из которых можно догнать автобус, если бежать с такой же скоростью.
Задача № 135033
Найти все действительные решения уравнения с 4 неизвестными: x2 + y2 + z2 + t2 = x(y + z + t).
Задача № 135031
На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток.)
Задача № 135029
Подряд выписаны числа 22000и 52000. Сколько всего выписано цифр?
Задача № 135027
Три офиса A, B и C одной фирмы расположены в вершинах треугольника. В офисе A работают 10 человек, в офисе B - 20, а в офисе C - 30. Где нужно построить столовую, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками фирмы, было бы как можно меньше?
Задача № 135026
Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?
Задача № 135025
На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость n окружностей?
Задача № 135024
На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?
Задача № 135023
Внутри угла расположена точка O. Как провести отрезок AB с концами на сторонах угла, проходящий через точку O, который делится точкой O пополам?
Задача № 135022
n разбойников делят добычу. У каждого из них свое мнение о ценности той или иной доли добычи, и каждый из них хочет получить не меньше, чем 1/n долю добычи (со своей точки зрения). Придумайте, как разделить добычу между разбойниками.
Задача № 135021
Каждая из сторон выпуклого четырехугольника пересекает некоторую окружность в двух точках, причем окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
Задача № 135020
10 человек собрали вместе 46 грибов, причём известно, что нет двух человек, собравших одинаковое число грибов. Сколько грибов собрал каждый?
Задача № 135018
Найдите сумму 6+66+666+...+666..6, где в записи последнего числа присутствуют n шестерок.
Задача № 135017
У деда Мороза в мешке бесконечное число конфет, занумерованных натуральными числами. За минуту до Нового года он начинает дарить детям конфеты. Сначала он дарит детям конфету с номером 1. За полминуты до Нового года он дарит 2 конфеты с номерами 2 и 3, а конфету с номером 1 отбирает, за 15 секунд до Нового года он дарит 4 конфеты с номерами 4, 5, 6, 7, а 2 конфеты с номерами 2 и 3 отбирает, и т.д., за 1/2nдолю минуты до Нового года дед Мороз дарит 2nконфет с номерами от 2nдо 2n+1-1 и отбирает 2n-1конфет с номерами от 2n-1до 2n-1. Сколько конфет будет у деда Мороза и у детей в момент встречи Но...
Задача № 135015
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения точки.
Задача № 135013
Два пловца одновременно прыгнули с плывущего по реке плота и поплыли в разные стороны: первый – по течению, а второй – против течения. Через пять минут они развернулись и вскоре вновь оказались на плоту. Кто из них вернулся раньше? (Каждый из пловцов плывет с постоянной собственной скоростью.)
Задача № 135012
Известно, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000. Найдите цифру, заменённую звездочкой.
Задача № 135011
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что произведение площадей треугольников AOB и COD равно произведению площадей треугольников BOC и DOA.
Задача № 135010
Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?
Задача № 135008
На плоскости расположено n точек (n > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди треугольников с вершинами в данных точках остроугольные треугольники составляют не более трёх четвертей.
Задача № 135007
Найдите все пары натуральных чисел (x, y), удовлетворяющие уравнению xy – x + 4y = 15.
Задача № 135005
Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.
Задача № 135004
В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трёх щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться?
7376–7400 из 7538