Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На окружности, описанной около прямоугольника ABCD , выбрана точка K . Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2. Пусть O — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD .
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.
С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.
Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше360o .
Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.
Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.
В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.
В тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , P — произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки O до середин рёбер AC и BD равна сумме квадратов расстояний от точки P до середин рёбер AD и BC .
Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?
Дан трёхгранный угол с вершиной O и точка A на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки B и C . Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC .
В основании пирамиды объёма V лежит трапеция с основаниями m и n . Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма U , а в сечении получается снова трапеция с основаниями m1и n1. Докажите, что = .
Докажите, что две непересекающиеся окружности S1и S2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке M , отличной от точки O , то их образы при инверсии относительно окружности с центром O также касаются, а при инверсии с центром M окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.
Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.
Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.
Точка M — середина стороны BC выпуклого четырёхугольника ABCD . Известно, что AMD = 120o . Докажите неравенство AB+BC+CD>AD .