Олимпиадная задача по стереометрии: сумма двугранных углов тетраэдра для 10–11 классов

Докажем сначала, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше180^o . Рассмотрим трёхгранный угол PABC с вершиной P . Обозначим линейные углы его двугранных углов при рёбрах PA , PB и PC через α , β и γ соответственно. Из произвольной точки M , лежащей внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры MA1, MB1и MC1на грани PBC , PAC и PAB соответственно. Рассмотрим трёхгранный угол MA1B1C1с вершиной M (полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские углы дополняют соответствующие двугранные углы до180^o , а т.к. сумма плоских углов любого трёхгранного угла меньше360^o , то

180^o-α+180^o-β+180^o-γ<360^o,

откуда

α+β+γ>180^o.

Перейдём к нашей задаче. Применим доказанное утверждение для каждого из четырёх трёхгранных углов тетраэдра и сложим полученные четыре неравенства. Каждое ребро входит ровно в два трёхгранных угла тетраэдра, значит, сумма всех двугранных углов тетраэдра вдвое меньше, чем4· 180^o=720^o . Отсюда следует утверждение задачи.