Олимпиадная задача по планиметрии: Построение образа прямой при инверсии

Пусть даны прямая l и окружность S с центром O . Требуется построить образ прямой l при инверсии относительно окружности S . Известно, что прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, — в окружность, проходящую через центр инверсии. В первом из этих случаев образ прямой l — это сама прямая l . Пусть прямая l не имеет с окружностью S общих точек (рис.1). Опустим перпендикуляр OP из центра инверсии на прямую l и проведём из точки P касательные к окружности S . Если A и B — точки касания, а P' — точка пересечения прямых AB и OP , то искомый образ прямой l — окружность с диаметром OP' . Если прямая l касается окружности S , то образ прямой l при рассматриваемой инверсии — это окружность S . Если прямая l пересекает окружность S в различных точках A и B (рис.1), но не проходит через её центр O , то строим точку C пересечения касательных к окружности S . Искомая окружность — это окружность с диаметром OC .