Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: неравенство в четырёхугольнике

Пусть B' — точка, симметричная вершине B относительно прямой AM , а C' — точка симметричная вершине C относительно прямой DM . Тогда

B'MC'=180^o- BMB'- CMC'= 180^o-2 AMB-2 DMC =

=180^o-2(180^o- AMD)= 180^o-2(180^o-120^o)=60^o,

а т.к. MB'=MB=MC=MC' , то треугольник B'MC' — равносторонний, поэтому B'C'=MB'=MB=BC . Следовательно,

AB+BC+CD =AB+B'C'+CD > AD.

Что и требовалось доказать.