Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: прямая PQ и точка пересечения
Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.
Разобрать решение
Продолжим отрезок QM за точку M до пересечения с
окруэностью в точке P' . Тогда 
AMP'=
QMB = AMP , значит, при симметрии относительно
диаметра AB , луч MP переходит в луч MP' , а т.к.
окружность симметрична относительно любого своего диаметра,
то точка P при этом переходит в P' .
Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Угол PMQ — внешний угол равнобедренного треугольника PMP' , поэтому
POQ = 2 PP'Q = 2· 
PMQ =
PMQ,
значит, из точек O и M , лежащих по одну сторону от прямой PQ , отрезок PQ виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки P , Q , M и O лежат на одной окружности. Пусть прямые PQ и AB пересекаются в точке K . Тогда
KO2-R2=(KO-R)(KO+R)=(KO-OB)(KO+OA)=KB· KA = KQ· KP=KM· KO,
поэтому
KO· OM= KO· (KO-KM)=KO2-KM· KO =R2.
Таким образом, точка K не зависит от выбора точек P и Q . Отсюда следует утверждение задачи.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.