Задача № 216348
Точки M и N расположены на стороне AC треугольника ABC, а точки K и L – на стороне AB, причём AM : MN : NC = 1 : 3 : 1 и AK = KL = LB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 4-8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216347
Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K – на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.
Задача № 216346
Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что .
Задача № 216345
Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.
Задача № 216344
Треугольник BHC, где H – ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = ∠CAH.
Задача № 216343
Точки A1, B1 и C1 – основания высот треугольника ABC. Известно, что A1B1 = 13, B1C1 = 14, A1C1 = 15. Найдите площадь треугольника ABC.
Задача № 216342
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Задача № 216341
Точка M расположена на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM : MC = 3 : 2. Отрезки AM и BD пересекаются в точке K. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника CMKD.
Задача № 216340
На стороне BC и на продолжении стороны AB за вершину B треугольника ABC расположены точки M и K соответственно, причём BM : MC = 4 : 5 и BK : AB = 1 : 5. Прямая KM пересекает сторону AC в точке N. Найдите отношение CN : AN.
Задача № 216339
На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причём AN : NB = 3 : 2, AM : MC = 4 : 5. Прямые BM и CN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM : OB и ON : OC.
Задача № 216338
На сторонах AB и BC треугольника ABC расположены точки M и N соответственно, причём AM : MB = 3 : 5, BN : NC = 1 : 4. Прямые CM и AN пересекаются в точке O. Найдите отношения OA : ON и OM : OC.
Задача № 216337
На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD расположены точки M и N соответственно, причём AM : MD = 2 : 7, CN : ND = 3 : 5. Прямые CM и BN пересекаются в точке O. Найдите отношения ON : OB и OC : OM.
Задача № 216336
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.
Задача № 216335
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.
Задача № 216334
В остроугольном треугольнике ABC (AB < BC) проведены высоты AM и CN. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Известно, что ∠ABC = β, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону AC.
Задача № 216333
Около треугольника ABC описана окружность. Диаметр AD пересекает сторону BC в точке E, при этом AC = EC и AE : DE = m. Найдите отношение BE : CE.
Задача № 216317
В четырёхугольнике ABCD найдите такую точку E , для которой отношение площадей треугольников EAB и ECD было равно 1:2, а треугольников EAD и EBC — 3:4, если известны координаты всех его вершин: A(-2;-4), B(-2;3), C(4;6), D(4;-1).
Задача № 216316
В четырёхугольнике PQRS найдите такую точку T , для которой отношение площадей треугольников RQT и PST было равно 2:1, а треугольников SRT и PQT — 1:5, если известны координаты всех его вершин: P(6;-2), Q(3;4), R(-3;4), S(0;-2).
Задача № 216315
В треугольнике ABC известно, что B = 50o , C = 70o . Найдите углы треугольника OHC , где H — точка пересечения высот, O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .
Задача № 216314
Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали – большему. Найдите углы трапеции.
Задача № 216313
Точки A , B и C лежат на окружности радиуса 4 с центром O , а точка M — на прямой, касающейся этой окружности в точке B , причём AMC = 42o , а длины отрезков AM , BM и CM образуют убывающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол AMO и расстояние между точками A и C . Какой из углов больше: AOM или ACM ?
Задача № 216312
Точки A , B и C лежат на окружности радиуса 2 с центром O , а точка K — на прямой, касающейся этой окружности в точке B , причём AKC = 46o , а длины отрезков AK , BK и CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол AKO и расстояние между точками A и C . Какой из углов больше: ACK или AOK ?
Задача № 216311
Отрезок AL является биссектрисой треугольника ABC . Окружность радиуса 3 проходит через вершину A , касается стороны BC в точке L и пересекает сторону AB в точке K . Найдите угол BAC и площадь треугольника ABC , если BC=4, AK:LB=3:2.
Задача № 216310
Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM . Окружность радиуса 5 проходит через вершину K , касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A . Найдите угол MKL и площадь треугольника KLM , если ML=9 , KA:LB=5:6.
Задача № 216309
На стороне AC треугольника ABC взята такая точка D, что окружность, проходящая через точки A, B и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AB = 18, AC = 36 и BD = 15.
26–50 из 6014