Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 3-10 класса - сложность 2 с решениями

Точки <i>M</i> и <i>K</i> расположены на боковой стороне <i>AB</i>, а точки <i>NL</i> – на боковой стороне <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём  <i>MN || AD</i>.  Известно, что площади трапеций <i>MBCN</i> и <i>MADN</i> относятся как  1 : 5.  Найдите <i>MN</i> и <i>KL</i>, если  <i>BC = a,  AD = b</i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на боковых сторонах соответственно <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём  <i>MN</i> || <i>AD</i>.  Известно, что площадь трапеции <i>MBCN</i> относится к площади трапеции <i>AMND</i> как  2 : 3.  Найдите <i>MN</i>, если  <i>BC = a,  AD = b</i>.

На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i>, <i>N</i>, <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 2, <i>CN</i> : <i>NB</i> = 2 : 3, <i>CK = KD</i> и <i>AL</i> : <i>LD</i> = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника <i>MBNKDL</i> к площади четырёхугольника <i>ABCD</i>.

На сторонах <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, причём  <i>BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C</i>= <i>CB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>A</i> = <i>AC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>B</i> = 1 : 3.  Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>C...

На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i>, причём  <i>CM</i> : <i>MB</i> = 1 : 3  и  <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2.  Отрезки <i>AM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKN</i>, если известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1.

В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BL</i> и <i>AK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CKOL</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BN</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOK</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOC</i>.

На сторонах <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, причём <i>BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C</i> = <i>CB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>A</i> = <i>AC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>B</i> = 2 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i>₁, <i>BB</i><sub>1</su...

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, причём  <i>AM</i> : <i>MB</i> = 1 : 2,  <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2.  Прямая <i>MN</i> пересекает продолжение стороны <i>BC</i> в точке <i>F</i>. Найдите  <i>CF</i> : <i>BC</i>.

Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MA</i> = 1 : 2.  Отрезки <i>DM</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Известно, что площадь параллелограмма <i>ABCD</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>BCPM</i>.

Три окружности с центрами <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i>, касающиеся друг друга и прямой <i>l</i>, расположены так, как показано на рисунке. Пусть <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> – радиусы окружностей с центрами <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что <img align="middle" src="/storage/problem-media/116346/problem_116346_img_2.gif">.

Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.

Треугольник <i>BHC</i>, где <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>, достроен до параллелограмма <i>BHCD</i>. Докажите, что ∠<i>BAD</i> = ∠<i>CAH</i>.

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.

Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 3 : 2.  Отрезки <i>AM</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKD</i>.

На стороне <i>BC</i> и на продолжении стороны <i>AB</i> за вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5  и  <i>BK</i> : <i>AB</i> = 1 : 5.  Прямая <i>KM</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Найдите отношение  <i>CN</i> : <i>AN</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём  <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2,  <i>AM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5.  Прямые <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OM</i> : <i>OB</i>  и  <i>ON </i>: <i>OC</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 5,  <i>BN</i> : <i>NC</i> = 1 : 4.  Прямые <i>CM</i> и <i>AN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OA</i> : <i>ON</i>  и  <i>OM</i> : <i>OC</i>.

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM</i> : <i>MD</i> = 2 : 7,  <i>CN</i> : <i>ND</i> = 3 : 5.  Прямые <i>CM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>ON</i> : <i>OB</i>  и  <i>OC</i> : <i>OM</i>.

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB < BC</i>)  проведены высоты <i>AM</i> и <i>CN</i>. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Известно, что ∠<i>ABC</i> = β,  а площадь четырёхугольника <i>NOMB</i> равна <i>S</i>. Найдите сторону <i>AC</i>.

Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность. Диаметр <i>AD</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>E</i>, при этом  <i>AC = EC</i>  и  <i>AE</i> : <i>DE = m</i>.

Найдите отношение  <i>BE</i> : <i>CE</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём  <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2,  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 2 : 5.  Прямые <i>AM</i> и <i>DN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OM</i> : <i>OA</i>  и <i>ON</i> : <i>OD</i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на диагоналях <i>BD</i> и <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MD = CN</i> : <i>NA</i> = 1 : 8.

Найдите <i>MN</i>, если известно, что основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции равны <i>a</i> и <i>b</i> соответственно.