Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 10 класса - сложность 4-5 с решениями

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Хорды<i> BA </i>и<i> BC </i>внешней окружности касаются внутренней в точках<i> K </i>и<i> M </i>соответственно. Пусть<i> Q </i>и<i> P </i>– середины дуг<i> AB </i>и<i> BC </i>, не содержащих точку<i> N </i>. Окружности, описанные около треугольников<i> BQK </i>и<i> BPM </i>, пересекаются в точке<i> B</i>1. Докажите, что<i> BPB</i>1<i>Q </i>– параллелограмм.

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1, отличные от точки пересечения высот<i> H </i>, причём сумма площадей треугольников<i> ABC</i>1,<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1равна площади треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что окружность, описанная около треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, проходит через точку<i> H </i>.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке<i> K </i>, пересекает внешнюю окружность в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> M </i>– середина дуги<i> AB </i>, не содержащей точку<i> N </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> BMK </i>, не зависит от выбора точки<i> K </i>на внутренней окружности.

Пусть<i> ABCD </i>– вписанный четырёхугольник,<i> O </i>– точка пересечения диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>. Пусть окружности, описанные около треугольников<i> ABO </i>и<i> COD </i>, пересекаются в точке<i> K </i>. Точка<i> L </i>такова, что треугольник<i> BLC </i>подобен треугольнику<i> AKD </i>. Докажите, что если четырёхугольник<i> BLCK </i>выпуклый, то он он является описанным.

Пусть <i>A'</i> – точка касания вневписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Прямая <i>a</i> проходит через точку <i>A'</i> и параллельна биссектрисе внутреннего угла <i>A</i>. Аналогично строятся прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> пересекаются в одной точке.

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

На плоскости<i> α </i>, проходящей через центр шара радиуса<i> R </i>, задана окружность с центром<i> O</i>1и радиусом<i> r</i>1, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой<i> A </i>, принадлежащей шару и удалённой от плоскости<i> α </i>на расстояние<i> R </i>. Множество отличных от<i> A </i>точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром<i> O</i>2и радиусом<i> r</i>2. Найдите расстояние от точки<i> O</i>2до плоскости<i> α </i>, если расстояние между точками<i> A </i>и<i> O</i>1равно<i> a </i>.

На плоскости<i> α </i>, проходящей через центр шара радиуса<i> R </i>, задана окружность с центром<i> O</i>1и радиусом<i> r</i>1, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой<i> A </i>, принадлежащей шару и удалённой от плоскости<i> α </i>на расстояние<i> R </i>. Множество отличных от<i> A </i>точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью радиуса<i> r</i>2, плоскость которой образует угол<i> ϕ </i>с плоскостью<i> α </i>. Найдите расстояние между точками<i> A </i>и<i> O</i>1.

Основанием пирамиды <i>ABMCP</i> сужит выпуклый четырехугольник <i>ABMC</i>, в котором угол при вершине <i>A</i> равен $\pi$/6, длина ребра <i>AB</i> равна единице . Площадь треугольника <i>BMC</i> в два раза больше площади треугольника <i>ABC</i>. Сумма длин ребер <i>BP</i> и <i>CP</i> равна $\sqrt{7}$. Объем пирамиды равен 3/4. Найдите радиус шара, имеющего наименьший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>ABMCP</i>.

Основанием пирамиды <i>THPCK</i> служит выпуклый четырехугольник <i>THPC</i>, который диагональю <i>HC</i> делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра <i>TH</i> равна <!-- MATH $4, {\rm ctg }\angle HCP = \sqrt{2}$ --> 4, <i>ctg</i>$\angle$<i>HCP</i> = $\sqrt{2}$. Сумма длин ребер <i>TK</i> и <i>CK</i> равна 4. Объем пирамиды равен <!-- MATH $5\frac{1}{3}$ --> 5${\frac{1}{3}}$. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди шаров, помещающихся в пирамиде <i>THPCK</i>.

Основанием пирамиды <i>MBKHE</i> служит выпуклый четырехугольник <i>MBKH</i>, в котором угол при вершине <i>M</i> равен $\pi$/2, угол, образованный диагональю <i>BH</i> и ребром <i>BK</i>, равен $\pi$/4, длина ребра <i>MB</i> равна 1. Площадь треугольника <i>BKH</i> в два раза больше площади треугольника <i>MBH</i>. Сумма длин ребер <i>BE</i> и <i>HE</i> равна $\sqrt{3}$. Объем пирамиды равен 1/4. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>MBKHE</i>.

Основанием пирамиды <i>ABCEH</i> служит выпуклый четырехугольник <i>ABCE</i>, который диагональю <i>BE</i> делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра <i>AB</i> равна 1, длины ребер <i>BC</i> и <i>CE</i> равны между собой. Сумма длин ребер <i>AH</i> и <i>EH</i> равна $\sqrt{2}$. Объем пирамиды равен 1/6. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>ABCEH</i>.

Два равных конуса с общей вершиной лежат на плоскости<i> α </i>. Угол между высотой и образующей каждого конуса равен<i> γ </i>, угол между высотами конусов равен<i> β </i>, причём<i> β + γ < </i>90<i>^o </i>. Найдите угол между образующей, по которой один из конусов касается плоскости<i> α </i>, и плоскостью основания другого конуса.

На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.

Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен60<i>^o </i>. Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.

Два равных конуса с общей вершиной касаются друг друга и некоторой плоскости<i> α </i>. Пусть<i> l </i>– прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Найдите угол между прямой<i> l </i>и плоскостью<i> α </i>, если высота каждого конуса равна 2, а радиус основания равен 1.

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.

На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найдите радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>ABC</i> = 20°.  На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  ∠<i>PAC</i> = 50°  и  ∠<i>QCA</i> = 60°.

Докажите, что  ∠<i>PQC</i> = 30°.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Впишите в данный остроугольный треугольник $ABC$ треугольник наименьшего периметра.

Из вершины <i>B</i> параллелограмма <i>ABCD</i> проведены его высоты <i>BK</i> и <i>BH</i>. Известны отрезки <i>KH</i> = <i>a</i> и <i>BD</i> = <i>b</i>. Найдите расстояние от точки <i>B</i> до точки пересечения высот треугольника <i>BKH</i>.

Пусть <i>A</i> – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую <i>l</i>. На этой прямой взяты еще две точки <i>B</i> и <i>C</i> так, что

<i>AB = AC</i>.  Через точки <i>B</i> и <i>C</i> проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, вторая – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть прямые <i>PM</i> и <i>QN</i> пересекают прямую <i>l</i> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что  <i>AR = AS</i>.

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно <i>m</i>. Найдите углы треугольника.

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.