Задача № 167522
Дан треугольник . Пусть — его биссектриса, — середина дуги , а — проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины . Окружность пересекает прямую, проходящую через и параллельную , в точке . Докажите, что .
Заславский А. А.
208 задачЗадача № 167511
Равносторонний треугольник разрезан на белые и чёрные треугольники. Известно, что все белые треугольники — прямоугольные и равны друг другу, а все чёрные — равнобедренные и тоже равны друг другу. Обязательно ли кратны все углы а) у белых треугольников; б) у чёрных треугольников?
Задача № 167452
Каждая клетка квадрата покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.
Задача № 167448
Правильный треугольник разрезан на треугольники, каждый из которых либо прямоугольный, либо равнобедренный. Все прямоугольные треугольники равны друг другу, все равнобедренные – тоже. Обязательно ли все углы равнобедренных треугольников кратны ?
Задача № 167437
Точки , лежат внутри окружности . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает в точках и . Окружность с центром , проходящая через и , пересекает в точках и . Отрезок лежит внутри треугольника . Докажите, что .
Задача № 167426
Верно ли, что сумма внутренних двугранных углов при основании треугольной пирамиды всегда меньше суммы внешних?
Задача № 167402
Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке . Пусть – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника , лежащая на описанной окружности треугольника , и – проекции точки на прямые . Докажите, что описанная окружность треугольника проходит через середину отрезка .
Задача № 167379
На одной из медиан треугольника нашлась такая точка , что . Докажите, что на другой медиане найдется такая точка , что .
Задача № 167370
В равнобедренном треугольнике () – центр описанной окружности, – ортоцентр, – такая точка внутри треугольника, что . Докажите, что .
Задача № 167358
Даны окружность с центром и точка внутри нее. Пусть – произвольная точка , прямая и окружность пересекают во второй раз в точках , соответственно. Докажите, что все прямые параллельны друг другу.
Задача № 167354
Хорда окружности, описанной около треугольника , пересекает стороны , в точках , соответственно. Касательные к окружности в точках и пересекаются в точке , а касательные в точках и – в точке . Прямая пересекает в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Задача № 167346
Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?
Задача № 167254
В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столах ни у кого не изменится, если а) N = 2; б) N = 10?
Задача № 167249
Пусть – треугольник Понселе, точка симметрична относительно центра вписанной окружности , точка изогонально сопряжена относительно . Найдите ГМТ .
Задача № 167233
В остроугольном треугольнике – центр описанной окружности, – медиана, – высота. Окружности и повторно пересекаются в точке , а окружности и – в точке . Докажите, что .
Задача № 167230
Точка лежит на основании равнобедренного тупоугольного треугольника так, что отрезок равен радиусу описанной окружности треугольника . Найдите угол .
Задача № 167224
Дан вписанный четырёхугольник . Произвольная окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые , в точках , соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей и .
Задача № 167223
Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник по серединам дуг , , его описанной окружности.
Задача № 167217
В треугольнике с тупым углом отмечены такие точки и на , что , . Окружность пересекает стороны и в точках и соответственно. а) (П.Рябов) Докажите, что точка пересечения и равноудалена от и . б) (А.Заславский) Пусть пересекает в точке . Докажите, что , где – центр описанной окружности треугольника .
Задача № 167196
Пусть — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников и имеют общую хорду, перпендикулярную . Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Задача № 167146
У Пети есть 8 монет, про которые он знает только, что 7 из них настоящие и весят одинаково, а одна фальшивая и отличается от настоящей по весу, неизвестно в какую сторону. У Васи есть чашечные весы – они показывают, какая чашка тяжелее, но не показывают, насколько. За каждое взвешивание Петя платит Васе (до взвешивания) одну монету из имеющихся у него. Если уплачена настоящая монета, Вася сообщит Пете верный результат взвешивания, а если фальшивая, то случайный. Петя хочет определить 5 настоящих монет и не отдать ни одну из этих монет Васе. Может ли Петя гарантированно этого добиться?
Задача № 167112
Даны окружность и не лежащая на ней точка . Пусть – произвольный правильный треугольник, вписанный в , а точки , , – проекции на прямые , , . Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников .
Задача № 167106
Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры , описанной и вписанной окружностей и середину одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.
Задача № 167103
Во вписанном четырехугольнике произведения противоположных сторон равны. Точка симметрична относительно прямой . Докажите, что окружность, проходящая через точки , , , касается прямой .
Задача № 167048
В ряд записаны различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим числам тоже удалось записать в ряд (возможно, в другом порядке) так, что каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину (возможно, иную, чем в первом случае). Чему могло равняться ?
Задача № 167038
Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?
Задача № 166998
На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше , а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
Задача № 166987
Цифры от 0 до 9 зашифрованы буквами A, B, C, D, E, F, G, H, I, J в каком-то порядке. За один вопрос можно узнать зашифрованную запись суммы нескольких различных букв. Например, если спросить «А + B = ?», то в случае, когда A = 9, B = 1, C = 0, ответом будет «А + В = BC». Как можно за пять таких вопросов определить, какие буквы каким цифрам соответствуют?
Задача № 166978
В неравнобедренном треугольнике точки , , – середины сторон , , соответственно. Биссектриса угла пересекает прямые и в точках и . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Задача № 166963
Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки . Таракан бежит вдвое медленнее, чем , и втрое медленнее, чем . Точки , на отрезке таковы, что . Прямые и пересекаются в точке . Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника .
Задача № 166960
В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках , . Пусть – высота пирамиды, , – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, , – центры этих окружностей. Докажите, что
Задача № 166947
Во вписанном пятиугольнике отметили середины четырех сторон, после чего сам пятиугольник стерли. Восстановите его.
Задача № 166933
Диагонали вписанно-описанного четырехугольника пересекаются в точке . Даны три отрезка, равные , , . Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.
Задача № 166931
В четырехугольнике и . Докажите, что существует точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны четырехугольника, пропорциональны этим сторонам.
Задача № 166852
Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?
Задача № 166850
Даны две окружности, пересекающиеся в точках и . Произвольная прямая , проходящая через , повторно пересекает окружности в точках и . Прямые, касающиеся окружностей в точках и , пересекаются в точке , а биссектриса угла пересекает прямую в точке . Докажите, что все точки , которые можно так получить, выбирая по-разному прямую , лежат на одной окружности.
Задача № 166789
Дан эллипс и его хорда . Найдите геометрическое место ортоцентров вписанных в треугольников .
Задача № 166788
В треугольнике – центр описанной окружности, – ортоцентр, – середина . Прямая пересекает прямую, проходящую через и параллельную , в точке , лежащей на описанной окружности треугольника. Точка – проекция на . Докажите, что .
Задача № 166786
Четырехугольник без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром . Точки , , и – середины сторон , , и . Известно, что . Докажите, что .
Задача № 166725
Равнобокая трапеция с основаниями и вписана в окружность с центром . Прямая пересекает отрезок в точке . Пусть и — центры описанных окружностей треугольников и соответственно. Докажите, что точки лежат на одной окружности.
Задача № 166709
Четырёхугольник вписан в окружность. Лучи и пересекаются в точке . Прямая, проходящая через и параллельная касательной к окружности в точке , пересекает в точках и касательные, проведённые к окружности в точках и . Докажите, что окружности, описанные около треугольника и четырёхугольника , касаются.
Задача № 166689
Даны два треугольника и . Прямые и пересекаются в точке , а параллельные им прямые, проходящие через и , соответственно, в точке . Точки , , , определяются аналогично. Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Задача № 166652
Пусть – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника . Докажите, что существует единственная пара точек , , лежащих соответственно на сторонах , , такая, что и .
Задача № 166644
Пусть — биссектриса треугольника , точка — ее середина, — проекция на . Известно, что . Докажите, что треугольник равнобедренный.
Задача № 166584
В некотором государстве 32 города, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Министр путей сообщения, тайный злодей, решил так организовать движение, что, покинув любой город, в него нельзя будет вернуться. Для этого он каждый день, начиная с 1 июня 2021 года, может менять направление движения на одной из дорог. Докажите, что он сможет добиться своего к 2022 году (то есть за 214 дней).
Задача № 166558
Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь не может ударить из-за того, что число голов получится нецелым, то Змей съедает богатырей. Смогут ли богатыри отрубить все головы -головому Змею?
Задача № 166553
В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?
Задача № 166525
В ребусе ЯЕМЗМЕЯ = 2020 замените каждую букву в левой части равенства цифрой или знаком арифметического действия (одинаковые буквы одинаково, разные – по-разному) так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример, пояснений не требуется.