В треугольнике с тупым углом отмечены такие точки и на , что , . Окружность пересекает стороны и в точках и соответственно. а) (П.Рябов) Докажите, что точка пересечения и равноудалена от и . б) (А.Заславский) Пусть пересекает в точке . Докажите, что , где – центр описанной окружности треугольника .
Диагонали трапеции () пересекаются в точке . На отрезках и выбраны соответственно точки и . К окружности проведена касательная из до пересечения с лучом в точке ; к окружности из проведена касательная до пересечения с лучом в точке . Докажите, что .
В равнобедренном треугольнике () проведен луч из вершины . На луче внутри треугольника взяты точки и так, что . Докажите, что .
В треугольнике чевианы и симметричны относительно биссектрисы. Точки , – проекции на и соответственно, а точки и – проекции на и соответственно. Докажите, что и пересекаются на .
Две окружности пересекаются в точках и . Через точку проведены прямые , . Прямая вторично пересекает окружности в точках и . Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника пересекаются в точке . Прямая пересекает в точке . Аналогично определены точки , , , . Докажите, что окружности и касаются.
Дан треугольник . На сторонах и взяты точки и так, что . Точки и симметричны соответственно точкам и относительно сторон и соответственно. Пусть пересекает в точке , а пересекает в точке . Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Внутри треугольника взята такая точка , что , а . Точки и взяты на отрезках и соответственно, причем . Докажите, что равноудалена от и .
В треугольнике , где , биссектриса угла пересекает в точке прямую, параллельную и проходящую через вершину , а в точке – касательную из вершины к описанной окружности треугольника. Точка симметрична относительно . Докажите, что .
Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, съедает одну из частей, а с другой повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил. Докажите, что рано или поздно это произойдёт.
Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.