Олимпиадная задача по планиметрии и проективной геометрии о правильном 17-угольнике

  Заметим, что  A₁A₄ || A₂A₃,  A₂A₁₀ || A₁₄A₁₅,  A₁₃A₁₄ || A₄A₆.  Поэтому надо доказать, что данные треугольники центрально симметричны.

  Пусть A, B, C, D, E, F – середины хорд A₁A₂, A₃A₄, A₄A₁₃, A₆A₁₄, A₁₀A₁₄, A₁₅A₂ соответственно. Прямые BC, DE, FA как средние линии треугольников A₃A₄A₁₃, A₆A₁₀A₁₄, A₁A₂A₁₅ параллельны прямым  A₃A₁₃ || A₆A₁₀ || A₁A₁₅.  Прямые AD, BE, CF как оси симметрии равнобедренных трапеций A₁A₂A₆A₁₄, A₃A₄A₁₀A₁₄, A₂A₄A₁₃A₁₅ пересекаются в центре семнадцатиугольника. По двойственной теореме Паппа (см. книгу Б.А. Розенфельда «Многомерные пространства», с. 365) прямые AB, CD, EF пересекаются в некоторой точке P (см. рис.). Но эти прямые являются средними линиями трёх полос, образованных парами параллельных сторон данных треугольников. Следовательно, эти треугольники симметричны относительно P.