Олимпиадная задача про четырех кузнечиков на квадрате — геометрический инвариант
Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то векторы 
и 
равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться
а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
б) на одной произвольной прямой.
Разобрать решение
а) Пусть вершины квадрата, в которых находятся кузнечики имеют координаты (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Абсцисса кузнечика при каждом его прыжке либо не меняется, либо изменяется на чётное число. Отсюда следует, что число кузнечиков с чётной абсциссой будет равно 2. Значит, на одной вертикальной прямой три кузнечика оказаться не могут. Так же доказывается, что они не могут оказаться и на одной горизонтальной прямой. б) Пусть через некоторое время три кузнечика из вершин (0, 0), (0, 1) и (1, 0) оказались соответственно в точках A, B, C. Как было доказано в а), обе координаты точки A чётны, у точки B абсцисса чётна, а ордината нечётна, а у точки C – наоборот. Но тогда и у вектора абсцисса чётна, а ордината нечётна, а у вектора 
– наоборот. Но такие два вектора не могут быть коллинеарны. Следовательно, точки A, B, C не лежат на одной прямой.
Доказательство для любой другой тройки кузнечиков получается заменой системы координат.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.