Планиметрия: олимпиадная задача о двух окружностях для 9-11 классов

Пусть внешние биссектрисы углов $AO_1B$ и $CO_2D$ пересекаются в точке $S$, а прямые $BO_1$ и $DO_2$ — в точке $T$. Тогда $\angle TO_1S = \frac12 \angle TO_1A = \angle O_1BA$, то есть $O_1S$ и $BX$ параллельны. Аналогично $O_2S$ и $DY$ параллельны. Заметим, что следующие площади треугольников равны: $$S_{O_1AS} = S_{O_1XS} = S_{O_2YS} = S_{O_2CS}$$ (первое и последнее равенство следуют из полученных параллельностей, а второе — из равенства отрезков $O_1X$ и $O_2Y$). Следовательно, точка $S$ равноудалена не только от прямых $O_1T$ и $O_1A$ ($O_2T$ и $O_1C$), но и от прямых $O_1A$ и $O_2C$, то есть является центром окружности, касающейся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$, что и требовалось.