Пусть – центр описанной окружности остроугольного треугольника . На стороне отметили точку . Окружности, описанные около треугольников и , повторно пересекают отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что из отрезков , и можно сложить треугольник.
Даны две равные окружности и с центрами и . На отрезке взяты точки и так, что . Точки и лежат на , и прямая проходит через . Точки и лежат на , и прямая проходит через . Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых , , и .
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «», «», «» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения . Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
Существует ли такое натуральное , что для любых вещественных чисел и найдутся вещественные числа , удовлетворяющие равенствам
Из центра описанной окружности Ω треугольника опустили перпендикуляры и на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине . Докажите, что прямая делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон и .
Дана окружность ω с центром и две её различные точки и . Для любой другой точки на ω отметим середины и отрезков и и построим точку пересечения высот треугольника . Докажите, что положение точки не зависит от выбора точки .
Точка — центр описанной окружности треугольника . Серединный перпендикуляр к пересекает и в точках и . Прямая пересекает прямую в точке , — середина . Описанная окружность треугольника пересекает описанную окружность треугольника в точке , отличной от . Докажите, что прямая касается описанной окружности треугольника .
В остроугольном треугольнике (
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ωA, ωB, ωC, ωD – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через XA произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим XB, XC, XD. Докажите, что XA + XB + XC + XD = 0.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A1 и C1. Докажите, что OB – биссектриса угла A1OC1.
Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A0, C0 соответственно. Докажите, что периметр треугольника A0OC0 (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.
Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности. Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой IaIc.