КИ

Кухарчук И.

22 задач

Задача № 1674339 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167433

Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ . На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$ . Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$ , и прямая $AB$ проходит через $X$ . Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$ , и прямая $CD$ проходит через $Y$ . Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$ , $BO_1$ , $CO_2$ и $DO_2$ .

Соколов А., Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1674169 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 167416

Таблица 2×2024 заполнена целыми числами, причём в первой строке стоят числа из набора {1, ..., 2023}. Оказалось, что какие бы два столбца мы ни выбрали, разность их чисел из первой строки делится на разность их чисел из второй строки. Известно, что все числа во второй строке попарно различны. Обязательно ли тогда все числа в первой строке равны между собой?

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673569 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167356

По окружности $\Omega$ движется точка $P$ . На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$ . Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$ . Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$ , пересекаются в точке $Q$ . Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1672978 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167297

Дан треугольник $ABC$ . Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$ , что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$ . Докажите, что точки $C$ , $I$ , $P$ , $Q$ лежат на одной окружности.

Кухарчук И., Юран А. Ю.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1672378 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167237

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ , пересекающиеся в точке $A$ , и прямая $a$ . Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$ , параллельная $a$ , а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$ . Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$ .

Кухарчук И., Демин Д.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1672128 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167212

На окружности $\omega$ зафиксирована точка $A$ . Хорды $BC$ окружности $\omega$ выбираются так, что проходят через фиксированную точку $P$ . Докажите, что окружности 9 точек треугольников $ABC$ касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора $BC$ .

Кухарчук И., Демин Д.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1672108 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167210

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$ . На сторонах $AD$ и $CD$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $AE=BC$ и $AB=CF$ . Пусть $M$ – середина $EF$ . Докажите, что угол $AMC$ прямой.

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671618 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167161

Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$ . Хорда $AD$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ . Внутри меньшего сегмента $AD$ круга с границей $\Omega$ взята произвольная точка $P$ . Касательные из $P$ к окружности $\omega$ пересекают большую дугу $AD$ окружности $\Omega$ в точках $B$ и $C$ . Отрезки $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $Q$ . Докажите, что отрезок $PQ$ делит отрезок $AD$ на две равные части.

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671248 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167124

Пусть высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$ . Окружность, описанная около треугольника $AHC$ , пересекает отрезки $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ . Прямая $PQ$ пересекает $AC$ в $R$ . На прямой $PH$ взята точка $K$ такая, что $\angle KAC = 90^{\circ}$ . Докажите, что прямая $KR$ перпендикулярна одной из медиан треугольника $ABC$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671178 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167117

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ( $AB=CD$ ). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$ . Пусть $L$ – середина $QD$ . Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671107 класс8 класс9 класс2 / 5

Задача № 167110

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD = 2 \angle BCD$ и $AB = AD$ . Пусть $P$ – такая точка, что $ABCP$ – параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671059 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167105

Пусть $O$ , $I$ – центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ ; $R$ , $r$ – их радиусы; $D$ – точка касания вписанной окружности со стороной $BC$ ; $N$ – произвольная точка на отрезке $ID$ . Перпендикуляр к $ID$ в точке $N$ пересекает описанную окружность $ABC$ в точках $X$ и $Y$ . Пусть $O_1$ – центр описанной окружности $XIY$ . Найдите произведение $OO_1\cdot IN$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671029 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167102

В треугольнике $ABC$ выбрана точка $P$ . Лучи с началом в точке $P$ , пересекающие под прямым углом стороны $BC$ , $AC$ , $AB$ , пересекают описанную окружность в точках $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ соответственно. Оказалось, что прямые $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $Q$ . Докажите, что все такие прямые $PQ$ пересекаются в одной точке.

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1670758 класс9 класс10 класс2 / 5

Задача № 167075

На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $P$ . Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $APD$ , $M$ – середина $AD$ и $N$ – середина $CD$ . Докажите, что прямые $PN$ и $MH$ взаимно перпендикулярны.

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1669678 класс9 класс10 класс2 / 5

Задача № 166967

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны углы $CAB$ , $BCA$ , $ECD$ , $DEC$ и $AEC$ . Докажите, что середина $BD$ лежит на $CE$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1669648 класс9 класс10 класс3 / 5

Задача № 166964

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$ . Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$ . Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1669458 класс9 класс2 / 5

Задача № 166945

В параллелограмме $ABCD$ точки $E$ и $F$ выбираются на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно так, что $EF=ED=DC$ . Пусть $M$ – середина $BE$ , а $MD$ пересекает $EF$ в точке $G$ . Докажите, что углы $EAC$ и $GBD$ равны.

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1669428 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 166942

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ , $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$ . Рассмотрим все окружности $\omega$ , касающиеся $\Gamma_1$ и $l$ . Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1669378 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 166937

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Прямая проходящая через середину его высоты $CH$ и вершину $A$ пересекает $CB$ в точке $K$ . Пусть $L$ – середина $BC$ , а $T$ – точка на отрезке $AB$ такая, что $\angle ATK=\angle LTB$ . Известно, что $BC=1$ . Найдите периметр треугольника $KTL$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1668039 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 166803

Четырехугольник $ABCD$ , вписанный в окружность $\omega$ , таков что $AD=BD=AC$ . Точка $P$ движется по $\omega$ . Прямые $AP$ и $DP$ пересекают прямые $CD$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $Q$ . Найдите геометрическое место точек $Q$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1667698 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 166769

В треугольнике $ABC$ $AA_1$ , $CC_1$ – высоты, $P$ – произвольная точка на стороне $BC$ . Точка $Q$ на прямой $AB$ такова, что $QP=PC_1$ , а точка $R$ на прямой $AC$ такова, что $RP=CP$ . Докажите, что четырехугольник $QA_1RA$ вписанный.

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1666738 класс9 класс3 / 5

Задача № 166673

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$ , серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$ .

Кухарчук И.

Problems.ruОткрыть задачу →

Старый дизайн