Вписанная и вневписанная окружности — олимпиадная задача, 9-11 класс

Точка $Y$ является точкой пересечения диагоналей трапеции $IC_1C_2J$, поэтому $IY:IC_2=IC_1:(IC_1+JC_2)=r:(r+r_b)$, где $r$ –радиус вписанной окружности, а $r_b$ – радиус вневписанной. Соответственно, $Y$ лежит на вписанной окружности тогда и только тогда, когда $IC_2=r+r_b$, а, поскольку $C_1C_2=AC=b$, это равносильно $b^2=r_b^2+2rr_b$. Такое же условие, очевидно получаем и для точки $Z$.

Перейдем к точке $X$. Пусть $BH$ – высота треугольника, $BL$ – биссектриса. Поскольку точки $B$, $L$, $I$, $J$ образуют гармоническую четверку, это верно и для их проекций $H$, $L$, $B_1$, $B_2$. Следовательно, точка $X$ пересечения боковых сторон трапеции $IB_1JB_2$ лежит на $BH$.При этом $BX:B_2J=BI:IJ=r:(r_b-r)$, т.е. $1/BX=1/r-1/r_b=p/S-(p-b)/S=2/BH$ и $X$ – середина $BH$. Условие $IX=r$ равносильно равенству $r:BX=IB_2:r_b$, а поскольку $B_1B_2=|AB-AC|=|a-c|$, его можно переписать в виде $r_b^2-2rr_b=(a-c)^2$. Осталось заметить, что $b^2-(a-c)^2=4(p-a)(p-c)=4S^2/(p(p-b))=4rr_b$. Таким образом, для всех трех точек условия попадания на вписанную окружность одинаковы.