Пересечение прямых в трапеции с вписанной окружностью — олимпиадная за

Решение 1:Пусть $I$ – центр данной вписанной окружности. Тогда стороны треугольников $PQX$ и $AID$ попарно параллельны. Значит, такие треугольники гомотетичны, откуда следует требуемое в задаче.

Решение 2:Зафиксируем точки $A$, $B$, $P$, $Q$, $S$ и будем двигать точку $R$ по окружности $\omega$. Тогда точки $D$ и $X$ будут двигаться по прямой $AS$ и параллельной ей прямой, проходящей через точку $P$. Очевидно, что соответствие между $D$ и $S$ проективно, а поскольку на бесконечность они уходят одновременно, то это соответствие линейно, т.е. все прямые $DX$ проходят через одну точку. Ясно также, что эта точка лежит на прямой $AB$, поэтому достаточно найти одно положение, при котором $DX$, $AB$ и $QS$ пересекаются в одной точке. Этому условию удовлетворяет положение, при котором трапеция $ABCD$ – равнобокая.