Задача № 1672378, 9, 10, 11 классы3 / 5

Олимпиадная задача: геометрическое место пересечений

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ , пересекающиеся в точке $A$ , и прямая $a$ . Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$ , параллельная $a$ , а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$ . Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$ .

Показать ответ

Пусть $X_1X_2$ – диаметр $\omega_2$ , перпендикулярный $a$ , $Y_1$ , $Y_2$ – вторые точки пересечения прямых $AX_1$ , $AX_2$ с $\omega_1$ . Тогда искомое ГМТ – интервал, ограниченный точками пересечения касательных к $\omega_2$ в $X_1$ , $X_2$ с касательными к $\omega_1$ в $Y_1$ , $Y_2$ соответственно.

Разобрать решение

Пусть $B_1C_1$ и $B_2C_2$ – два положения хорды $BC$ , $E_1F_1$ , $E_2F_2$ – соответствующие положения хорды $EF$ . Так как дуги $B_1B_2$ и $C_1C_2$ равны, дуги $E_1F_1$ и $E_2F_2$ также равны, т.е. $E_1F_1\parallel E_2F_2$ . Кроме того, хорды $B_iC_i$ и $E_iF_i$ стягивают дуги одинаковой угловой меры. Следовательно, когда прямая $BC$ движется равномерно, $EF$ также движется равномерно, а точка их пересечения движется по прямой. Очевидно, что крайними положениями этой точки будут точки пересечения касательных к окружностям.

Открыть на Problems.ru Все задачи по теме

Обсуждение

Комментариев пока нет.

Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.

Олимпиадная задача: геометрическое место пересечений

Обсуждение

Версии задачи

Сообщить об ошибке

Куда двигаться дальше

Похожие задачи

Обсуждение