Середина диагонали четырехугольника ABCD и касательные к окружностям

Пусть $M$, $N$ $C_1$, $A_1$ – середины $AC$, $BD$, $AB$, $BC$ соответственно. Так как $\angle A_1NC_1=\angle D=\angle B=\angle A_1MC_1$, точка $N$ лежит на окружности $A_1MC_1$, которая по теореме Фейербаха касается вписанной в треугольник $ABC$ окружности $\omega_1$. Поэтому, применяя к точкам $A_1$, $C_1$, $N$ и $\omega_1$ теорему Кези, можно найти длину $x$ касательной из $N$ к $\omega_1$. Например, для конфигурации на рисунке имеем $$x\frac{AC}2=\frac{CD}2\cdot\frac{AC-BC}2+\frac{AD}2\cdot\frac{AB-AC}2.$$

Аналогично для длины $y$ касательной из $N$ к вписанной в треугольник $ACD$ окружности $\omega_2$ имеем $$y\frac{AC}2=\frac{AB}2\cdot\frac{CD-AC}2+\frac{BC}2\cdot\frac{AC-AD}2.$$ Складывая эти равенства, получаем, что $x+y=(AB+CD-AD-BC)/2$, что равно длине общей внутренней касательной к $\omega_1$ и $\omega_2$, следовательно, точка $N$ лежит на такой касательной. Для других конфигураций решение аналогично.