Задание олимпиады о многочленах и корнях

Автор: [Тертерян А.](https://mirolimp.ru/tasks?author%5Bvalue%5D=100805)

Пусть $a, b, c, d$ – коэффициенты многочлена от старшего к младшему, α, β – известные корни, γ – неизвестный корень. Так как все корни лежат между 0 и 1, то в силу теоремы Виета $d$ – наименьший из коэффициентов по модулю. Способ 1. Рассмотрим всевозможные расстановки коэффициентов $a, b, c$ и проверим, будут ли α и β корнями получившихся многочленов. При правильной расстановке ответ будет утвердительным. Предположим, что подойдёт и другая расстановка. Вычтем полученный многочлен из правильного и обозначим их разность $P(x)$. Её свободный член равен 0, поэтому

$P$(0) = 0.  Сумма коэффициентов также равна 0, поэтому  $P$(1) = 0.  Кроме того,  $P$(α) = $P$(β) = 0.  Таким образом, многочлен степени не выше 3 имеет 4 различных корня. Противоречие. Способ 2. Поскольку все корни многочлена положительны, знаки коэффициентов чередуются. Поэтому, зная $d$, определяем $b$. Если найти $a$, то определяется и $c$. Заметим, что  $a\gamma = \frac{-d}{\alpha\beta}$.  Поскольку  $b = -a$(α + β + γ),  можно найти  $a$(α + β).  Так как α и β известны, отсюда определяется $a$.